Grupo de mentiras

En matemáticas , un grupo de Lie (pronunciado / l iː / "Lee") es un grupo que también es una variedad diferenciable . Una variedad es un espacio que localmente se asemeja al espacio euclidiano , mientras que los grupos definen el concepto abstracto de una operación binaria junto con las propiedades adicionales que debe tener para ser un grupo, por ejemplo, la multiplicación y la toma de inversas (división), o de manera equivalente, el concepto de suma y toma de inversas (resta). Combinando estas dos ideas, se obtiene un grupo continuodonde los puntos se pueden multiplicar juntos y se puede tomar su inverso. Si, además, la multiplicación y toma de inversas se definen como suaves (diferenciables), se obtiene un grupo de Lie.

Los grupos de mentiras proporcionan un modelo natural para el concepto de simetría continua , un ejemplo célebre de los cuales es la simetría rotacional en tres dimensiones (dada por el grupo ortogonal especial ). Los grupos de mentiras se utilizan ampliamente en muchas partes de la matemática y la física modernas .${\ displaystyle {\ text {SO}} (3)}$

Los grupos de mentiras se encontraron primero mediante el estudio de subgrupos de matrices contenidos en o , los grupos de matrices invertibles sobre o . Estos ahora se denominan grupos clásicos , ya que el concepto se ha extendido mucho más allá de estos orígenes. Los grupos de Lie llevan el nombre del matemático noruego Sophus Lie (1842-1899), quien sentó las bases de la teoría de los grupos de transformación continua . La motivación original de Lie para introducir los grupos de Lie fue modelar las simetrías continuas de las ecuaciones diferenciales , de la misma manera que los grupos finitos se usan en la teoría de Galois.${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$para modelar las simetrías discretas de ecuaciones algebraicas .

Según la fuente más autorizada sobre la historia temprana de los grupos de Lie (Hawkins, p. 1), el propio Sophus Lie consideró el invierno de 1873-1874 como la fecha de nacimiento de su teoría de los grupos continuos. Hawkins, sin embargo, sugiere que fue "la prodigiosa actividad investigadora de Lie durante el período de cuatro años desde el otoño de 1869 hasta el otoño de 1873" lo que condujo a la creación de la teoría ( ibid ). Algunas de las primeras ideas de Lie se desarrollaron en estrecha colaboración con Felix Klein . Lie se reunió con Klein todos los días desde octubre de 1869 hasta 1872: en Berlín desde finales de octubre de 1869 hasta finales de febrero de 1870, y en París, Gotinga y Erlangen en los dos años siguientes ( ibid., pags. 2). Lie afirmó que todos los resultados principales se obtuvieron en 1884. Pero durante la década de 1870 todos sus artículos (excepto la primera nota) se publicaron en revistas noruegas, lo que impidió el reconocimiento del trabajo en el resto de Europa ( ibid , p. 76 ). En 1884, un joven matemático alemán, Friedrich Engel , empezó a trabajar con Lie en un tratado sistemático para exponer su teoría de los grupos continuos. De este esfuerzo resultó la Theorie der Transformationsgruppen en tres volúmenes , publicada en 1888, 1890 y 1893. El término groupes de Lie apareció por primera vez en francés en 1893 en la tesis del estudiante de Lie, Arthur Tresse. ^[1]

El conjunto de todos los números complejos con valor absoluto 1 (correspondiente a puntos en el círculo del centro 0 y radio 1 en el plano complejo ) es un grupo de Lie bajo multiplicación compleja: el grupo del círculo .

Una parte del grupo adentro . Pequeños vecindarios del elemento están desconectados en la topología del subconjunto en${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}$${\ Displaystyle h \ in H}$${\ Displaystyle H}$