Un circuito resistor-condensador ( circuito RC ), o filtro RC o red RC , es un circuito eléctrico compuesto por resistencias y condensadores . Puede ser impulsado por una fuente de voltaje o corriente y estos producirán diferentes respuestas. Un circuito RC de primer orden se compone de una resistencia y un condensador y es el tipo más simple de circuito RC.
Los circuitos RC se pueden usar para filtrar una señal bloqueando ciertas frecuencias y pasando otras. Los dos filtros RC más comunes son los filtros de paso alto y los filtros de paso bajo ; filtros de paso de banda y filtros de banda eliminada por lo general requieren filtros RLC , aunque los crudos se pueden hacer con filtros RC.
Introducción
Hay tres componentes de circuito analógico agrupados pasivos lineales básicos : el resistor (R), el capacitor (C) y el inductor (L). Estos pueden combinarse en el circuito RC, el circuito RL , el circuito LC y el circuito RLC , con las siglas que indican qué componentes se utilizan. Estos circuitos, entre ellos, exhiben una gran cantidad de tipos importantes de comportamiento que son fundamentales para gran parte de la electrónica analógica . En particular, pueden actuar como filtros pasivos . Este artículo considera el circuito RC, tanto en serie como en paralelo , como se muestra en los diagramas a continuación.
Respuesta natural
El circuito RC más simple consta de una resistencia y un condensador cargado conectados entre sí en un solo bucle, sin una fuente de voltaje externa. Una vez que el circuito está cerrado, el capacitor comienza a descargar su energía almacenada a través de la resistencia. El voltaje a través del capacitor, que depende del tiempo, se puede encontrar usando la ley de corriente de Kirchhoff . La corriente a través de la resistencia debe ser igual en magnitud (pero de signo opuesto) a la derivada de tiempo de la carga acumulada en el capacitor. Esto da como resultado la ecuación diferencial lineal
donde C es la capacitancia del capacitor.
Resolver esta ecuación para V da como resultado la fórmula para el decaimiento exponencial :
donde V 0 es el voltaje del capacitor en el tiempo t = 0 .
El tiempo necesario para que el voltaje caiga a V 0/mise llama la constante de tiempo RC y viene dada por, [1]
En esta fórmula, τ se mide en segundos, R en ohmios y C en faradios.
Impedancia compleja
La impedancia compleja , Z C (en ohmios ) de un capacitor con capacitancia C (en faradios ) es
La frecuencia compleja s es, en general, un número complejo ,
dónde
- j representa la unidad imaginaria : j 2 = −1 ,
- σ es la constante de desintegración exponencial (en nepers por segundo), y
- ω es la frecuencia angular sinusoidal (en radianes por segundo ).
Estado estable sinusoidal
El estado estable sinusoidal es un caso especial en el que el voltaje de entrada consiste en una sinusoide pura (sin caída exponencial). Como resultado, y la impedancia se vuelve
Circuito en serie
Al ver el circuito como un divisor de voltaje , el voltaje a través del capacitor es:
y el voltaje a través de la resistencia es:
Funciones de transferencia
La función de transferencia del voltaje de entrada al voltaje a través del capacitor es
De manera similar, la función de transferencia de la entrada al voltaje a través de la resistencia es
Polos y ceros
Ambas funciones de transferencia tienen un solo polo ubicado en
Además, la función de transferencia del voltaje a través de la resistencia tiene un cero ubicado en el origen .
Ganancia y fase
La magnitud de las ganancias en los dos componentes es
y
y los ángulos de fase son
y
Estas expresiones juntas pueden sustituirse en la expresión habitual del fasor que representa la salida:
Actual
La corriente en el circuito es la misma en todas partes ya que el circuito está en serie:
Respuesta impulsiva
La respuesta al impulso para cada voltaje es la transformada de Laplace inversa de la función de transferencia correspondiente. Representa la respuesta del circuito a un voltaje de entrada que consta de un impulso o función delta de Dirac .
La respuesta al impulso para el voltaje del capacitor es
donde u ( t ) es la función escalonada de Heaviside y τ = RC es la constante de tiempo .
De manera similar, la respuesta al impulso para el voltaje de la resistencia es
donde δ ( t ) es la función delta de Dirac
Consideraciones en el dominio de la frecuencia
Estas son expresiones en el dominio de la frecuencia . El análisis de ellos mostrará qué frecuencias pasan y rechazan los circuitos (o filtros). Este análisis se basa en una consideración de lo que sucede con estas ganancias cuando la frecuencia se vuelve muy grande y muy pequeña.
Como ω → ∞ :
Como ω → 0 :
Esto muestra que, si la salida se toma a través del capacitor, las altas frecuencias se atenúan (cortocircuitan a tierra) y se pasan las bajas frecuencias. Por tanto, el circuito se comporta como un filtro de paso bajo . Sin embargo, si la salida se toma a través de la resistencia, se pasan las frecuencias altas y se atenúan las frecuencias bajas (ya que el capacitor bloquea la señal cuando su frecuencia se acerca a 0). En esta configuración, el circuito se comporta como un filtro de paso alto .
El rango de frecuencias por el que pasa el filtro se denomina ancho de banda . El punto en el que el filtro atenúa la señal a la mitad de su potencia sin filtrar se denomina frecuencia de corte . Esto requiere que la ganancia del circuito se reduzca a
- .
Resolver la ecuación anterior produce
que es la frecuencia que el filtro atenuará a la mitad de su potencia original.
Claramente, las fases también dependen de la frecuencia, aunque este efecto es menos interesante en general que las variaciones de ganancia.
Como ω → 0 :
Como ω → ∞ :
Entonces, en CC (0 Hz ), el voltaje del capacitor está en fase con el voltaje de la señal, mientras que el voltaje de la resistencia lo adelanta en 90 °. A medida que aumenta la frecuencia, el voltaje del capacitor llega a tener un retraso de 90 ° con respecto a la señal y el voltaje de la resistencia pasa a estar en fase con la señal.
Consideraciones en el dominio del tiempo
- Esta sección se basa en el conocimiento de e , la constante logarítmica natural .
La forma más sencilla de derivar el comportamiento en el dominio del tiempo es utilizar las transformadas de Laplace de las expresiones para V C y V R dadas anteriormente. Esto efectivamente transforma jω → s . Suponiendo una entrada escalonada (es decir, V in = 0 antes de t = 0 y luego V in = V después):
Las expansiones de fracciones parciales y la transformada de Laplace inversa dan como resultado:
Estas ecuaciones son para calcular el voltaje a través del capacitor y la resistencia respectivamente mientras el capacitor se está cargando ; para la descarga, las ecuaciones son viceversa. Estas ecuaciones se pueden reescribir en términos de carga y corriente usando las relaciones C =Q/Vy V = IR (consulte la ley de Ohm ).
Por lo tanto, el voltaje a través del capacitor tiende hacia V a medida que pasa el tiempo, mientras que el voltaje a través del resistor tiende a 0, como se muestra en las figuras. Esto está en consonancia con el punto intuitivo de que el condensador se cargará con el voltaje de suministro a medida que pase el tiempo y, finalmente, se cargará por completo.
Estas ecuaciones muestran que un circuito RC en serie tiene una constante de tiempo , generalmente indicada como τ = RC es el tiempo que tarda la tensión en el componente para subir (a través del condensador) o caer (a través de la resistencia) dentro de1/mide su valor final. Es decir, τ es el tiempo que tarda V C en alcanzar V (1 - 1/mi) y V R para llegar a V ( 1/mi) .
La tasa de cambio es una fracción de 1 - 1/mipor τ . Por lo tanto, al pasar de t = Nτ a t = ( N + 1) τ , el voltaje se habrá movido alrededor del 63.2% del camino desde su nivel en t = Nτ hacia su valor final. Por lo tanto, el condensador se cargará aproximadamente al 63,2% después de τ , y esencialmente se cargará completamente (99,3%) después de aproximadamente 5 τ . Cuando la fuente de voltaje se reemplaza con un cortocircuito, con el capacitor completamente cargado, el voltaje a través del capacitor cae exponencialmente con t desde V hacia 0. El capacitor se descargará a aproximadamente 36.8% después de τ , y esencialmente se descargará completamente (0.7% ) después de aproximadamente 5 τ . Tenga en cuenta que la corriente, I , en el circuito se comporta como lo hace el voltaje a través de la resistencia, a través de la Ley de Ohm .
Estos resultados también pueden obtenerse resolviendo las ecuaciones diferenciales que describen el circuito:
La primera ecuación se resuelve usando un factor integrador y la segunda se sigue fácilmente; las soluciones son exactamente las mismas que las obtenidas mediante transformadas de Laplace.
Integrador
Considere la salida a través del capacitor a alta frecuencia, es decir
Esto significa que el condensador no tiene tiempo suficiente para cargarse y, por lo tanto, su voltaje es muy pequeño. Por lo tanto, el voltaje de entrada es aproximadamente igual al voltaje a través de la resistencia. Para ver esto, considere la expresión para dado anteriormente:
pero tenga en cuenta que la condición de frecuencia descrita significa que
entonces
que es solo la Ley de Ohm .
Ahora,
entonces
que es un integrador a través del condensador .
Diferenciador
Considere la salida a través de la resistencia a baja frecuencia, es decir,
Esto significa que el capacitor tiene tiempo de cargarse hasta que su voltaje sea casi igual al voltaje de la fuente. Considerando la expresión para mí de nuevo, cuando
entonces
Ahora,
que es un diferenciador a través de la resistencia .
Se puede lograr una integración y diferenciación más precisas colocando resistencias y condensadores según corresponda en el circuito de entrada y retroalimentación de los amplificadores operacionales (ver integrador de amplificador operacional y diferenciador de amplificador operacional ).
Respuestas promedio de PWM
Comenzamos con el análisis utilizando la definición de condensador:
i = C * dv / dt
En este circuito, se observa que la corriente i es (Ev) / R si v es el voltaje promedio del capacitor y E es un voltaje de CC constante. Esto nos da:
C * dv / dt = (Ev) / R
Dado que E toma dos valores aquí, tanto E (un voltaje de CC particular) como 0 (voltaje cero), necesitamos dos ecuaciones, una cuando es E y otra cuando es cero. La segunda ecuación es la misma con E puesta a cero y la polaridad de v positiva, ya que cuando la tapa se está descargando, v es un valor positivo. Esto nos da:
C * dv / dt = v / R
Ahora simplemente multiplique ambos lados de este conjunto de ecuaciones por C (y RC = R * C) obtenemos:
dv / dt = (Ev) / RC (cuando la entrada PWM E es alta)
y
dv / dt = v / RC (cuando la entrada PWM E es cero)
El incremento de tiempo dt es solo el mismo para un ciclo de trabajo PWM del 50 por ciento, por lo que necesitamos una expresión más general. Para esto, simplemente establecemos cada incremento de tiempo dt en un valor único:
dv / dt1 = (Ev) / RC
dv / dt2 = v / RC
Ahora simplemente resuelva para dv en cada ecuación:
dv = dt1 * (Ev) / RC
dv = dt2 * v / RC
Ahora, aplicando la teoría de la continuidad de los estados, podemos decir que estos dos valores de dv deben ser los mismos cuando el voltaje a través del capacitor está en su valor promedio. Esto se debe a que cuando el voltaje sube comenzando en un cierto valor más bajo, luego debe bajar al mismo voltaje más bajo o, de lo contrario, el voltaje aún no está en su valor promedio. Entonces, notando eso, podemos equiparar los dos:
dt1 * (Ev) / RC = dt2 * v / RC
y ahora resolviendo para el voltaje promedio v obtenemos:
v = (dt1 * E) / (dt2 + dt1)
Ahora podríamos detenernos aquí y observar que v es el voltaje promedio a través de la tapa y dt1 es el tiempo de 'encendido' y dt2 es el tiempo de 'apagado', pero en la mayoría de los casos queremos relacionar esto con el ciclo de trabajo D. Es Es bastante simple notar que si conocemos el período de tiempo total tp podemos igualar estos dos:
dt1 = D * tp
dt2 = (1-D) * tp
donde D es el ciclo de trabajo fraccional (0.30 es 30 por ciento, por ejemplo) y, por lo tanto, sustituyendo esos dos en la solución anterior para v, terminamos con:
v = (tp * D * E) / (tp * D + tp * (1-D))
y cuando simplificamos esta expresión obtenemos:
v = D * E
¡Un resultado muy simple! Entonces, el voltaje promedio es D * E y podríamos notar inmediatamente que los valores reales de R y C no importaban. Ese es realmente el caso para cualquier valor siempre que el voltaje del capacitor no se acerque a cero o E durante los períodos de "encendido" o "apagado". Más adelante, cuando calculemos los picos, encontraremos que los valores de R y C no importan si RC >> tp, pero si la constante de tiempo RC es comparable al período de tiempo total tp, entonces encontraremos una diferencia en los picos superior e inferior. de los cálculos en el dominio del tiempo y los picos superior e inferior de los cálculos promediados, aunque las diferencias pueden ser pequeñas.
Un ejemplo simple es cuando E = 10v y D = 0.25, el voltaje promedio v es 2.5 voltios.
Otro ejemplo simple es cuando E = 20v y D = 0.50, el voltaje promedio es de 10 voltios.
A continuación, calcularemos los dos valores máximos, el pico superior y el pico inferior. Hay al menos dos formas de hacer esto usando una técnica de promediado y otra usando una solución de dominio de tiempo directo. La técnica de promediado asume un período de tiempo total corto tp mientras que la solución en el dominio del tiempo no asume nada excepto componentes ideales (como es típico en soluciones teóricas).
Usando la técnica de promediado, observamos que anteriormente obtuvimos el resultado para la desviación de voltaje del capacitor de baja a alta como:
dv = dt1 * (Ev) / RC
y sustituimos dt1 = D * tp y obtuvimos:
dv = D * tp * (Ev) / RC
y asumimos que 'v' era el voltaje promedio. Dado que 'v' era el voltaje promedio y luego lo calculamos como:
v (promedio) = D * E
insertamos eso en la expresión anterior y terminamos con:
dv = D * tp * (ED * E) / RC
o:
dv = D * tp * E * (1-D) / RC
y esa es la desviación completa desde el punto más bajo al punto más alto a través del capacitor, a menudo referido como el voltaje pico a pico.
Dado que esa es la desviación completa y en la aproximación de línea recta es triangular y una onda triangular tiene un promedio que es la mitad de su amplitud total pico a pico, para obtener la excursión por encima del promedio, simplemente dividimos eso por la mitad. Por la misma razón, la amplitud por debajo del promedio también será la mitad de eso.
Podríamos notar que los valores de RC de hecho marcan una diferencia para este cálculo, aunque no importan para el cálculo promedio.
Ejemplo: R = 1000 ohmios, C = 100 uf, tp = 0,001 segundos, E = 10 voltios, D = 0,50 (ciclo de trabajo del 50 por ciento)
Resultado: dv = 0,025 voltios pico a pico.
Excursión positiva: 0.025 / 2 = 0.0125 voltios pico
Excursión negativa: 0,025 / 2 = pico de 0,0125 voltios
También es digno de mención que si calculamos el máximo de dv con respecto a una variación en D del ciclo de trabajo, encontraremos que el valor de D que causa el voltaje más alto pico a pico es D = 0.50 que es un ciclo de trabajo del 50 por ciento.
Circuito paralelo
El circuito RC en paralelo es generalmente de menor interés que el circuito en serie. Esto se debe en gran parte a que el voltaje de salida V out es igual al voltaje de entrada V in ; como resultado, este circuito no actúa como un filtro en la señal de entrada a menos que sea alimentado por una fuente de corriente .
Con impedancias complejas:
Esto muestra que la corriente del condensador está desfasada 90 ° con la corriente de la resistencia (y la fuente). Alternativamente, se pueden usar las ecuaciones diferenciales que gobiernan:
Cuando se alimenta de una fuente de corriente, la función de transferencia de un circuito RC paralelo es:
Síntesis
A veces se requiere sintetizar un circuito RC a partir de una función racional dada en s . Para que la síntesis sea posible en elementos pasivos, la función debe ser una función real positiva . Para sintetizar como un circuito RC, todas las frecuencias críticas ( polos y ceros ) deben estar en el eje real negativo y alternar entre polos y ceros con el mismo número de cada uno. Además, la frecuencia crítica más cercana al origen debe ser un polo, asumiendo que la función racional representa una impedancia en lugar de una admitancia.
La síntesis se puede lograr con una modificación de la síntesis de Foster o la síntesis de Cauer utilizada para sintetizar circuitos LC . En el caso de la síntesis de Cauer, resultará una red en escalera de resistencias y condensadores. [2]
Ver también
- Constante de tiempo RC
- Circuito RL
- Circuito LC
- Circuito RLC
- Red eléctrica
- Lista de temas de electrónica
- Respuesta al paso
Referencias
- ^ Horowitz y Hill, p. 1,13
- ^ Bakshi y Bakshi, págs. 3-30-3-37
Bibliografía
- Bakshi, UA; Bakshi, AV, Circuit Analysis - II , Publicaciones técnicas, 2009 ISBN 9788184315974 .
- Horowitz, Paul; Hill, Winfield, The Art of Electronics (tercera edición), Cambridge University Press, 2015 ISBN 0521809266 .
enlaces externos
- Visualización interactiva de la respuesta al escalón RC