fracción continua de Rogers-Ramanujan

La fracción continua de Rogers-Ramanujan es una fracción continua descubierta por Rogers (1894) e independientemente por Srinivasa Ramanujan , y estrechamente relacionada con las identidades de Rogers-Ramanujan . Puede evaluarse explícitamente para una amplia clase de valores de su argumento.

Dadas las funciones y que aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan,${\ Displaystyle G (q)}$${\ estilo de visualización H (q)}$

OEIS :  A003114 y OEIS :  A003106 , respectivamente, dondedenota el símbolo infinito q-Pochhammer , j es la función j y ₂ F ₁ es la función hipergeométrica , entonces la fracción continua de Rogers-Ramanujan es,${\displaystyle (a;q)_{\infty}}$

Si , entonces y , así como su cociente , son funciones modulares de . Dado que tienen coeficientes integrales, la teoría de la multiplicación compleja implica que sus valores para un irracional cuadrático imaginario son números algebraicos que pueden evaluarse explícitamente.${\displaystyle q=e^{2\pi {\rm{i}}\tau}}$${\displaystyle q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)}$${\displaystyle q^{\frac {11}{60}}H(q)}$${\ Displaystyle R (q)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$

donde está la proporción áurea .${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle R(q)}$se puede relacionar con la función eta de Dedekind , una forma modular de peso 1/2, como, ^[1]

Representación coloreada del dominio del convergente de la función , donde es la fracción continua de Rogers-Ramanujan.${\displaystyle A_{400}(q)/B_{400}(q)}$${\displaystyle q^{-1/5}R(q)}$${\displaystyle R(q)}$

Representación de la aproximación de la fracción continua de Rogers-Ramanujan.${\displaystyle q^{1/5}A_{400}(q)/B_{400}(q)}$