En matemáticas , las identidades de Rogers-Ramanujan son dos identidades relacionadas con series hipergeométricas básicas y particiones enteras . Las identidades fueron descubiertas y probadas por primera vez por Leonard James Rogers ( 1894 ), y posteriormente fueron redescubiertas (sin una prueba) por Srinivasa Ramanujan algún tiempo antes de 1913. Ramanujan no tenía pruebas, pero redescubrió el artículo de Rogers en 1917, y luego publicaron un artículo conjunto nueva prueba ( Rogers y Ramanujan 1919 ). Issai Schur ( 1917 ) redescubrió y demostró independientemente las identidades.
Definición
Las identidades de Rogers-Ramanujan son
y
Aquí, denota el símbolo q-Pochhammer .
Interpretación combinatoria
Considera lo siguiente:
- es la función generadora para particiones con exactamente partes de manera que las partes adyacentes tengan una diferencia de al menos 2.
- es la función generadora de particiones, de modo que cada parte es congruente con 1 o 4 módulo 5.
- es la función generadora para particiones con exactamente partes de manera que las partes adyacentes tengan una diferencia de al menos 2 y de manera que la parte más pequeña sea de al menos 2.
- es la función generadora de particiones tal que cada parte es congruente con 2 o 3 módulo 5.
Las identidades de Rogers-Ramanujan ahora podrían interpretarse de la siguiente manera. Dejar ser un número entero no negativo.
- El número de particiones de tal que las partes adyacentes difieran en al menos 2 es el mismo que el número de particiones de tal que cada parte sea congruente con 1 o 4 módulo 5.
- El número de particiones de tal que las partes adyacentes difieran en al menos 2 y tal que la parte más pequeña sea al menos 2 sea el mismo que el número de particiones de tal que cada parte sea congruente con 2 o 3 módulo 5.
Alternativamente,
- El número de particiones de tal que con partes la parte más pequeña es al menos es el mismo que el número de particiones de tal que cada parte sea congruente con 1 o 4 módulo 5.
- El número de particiones de tal que con partes la parte más pequeña es al menos es el mismo que el número de particiones de tal que cada parte sea congruente con 2 o 3 módulo 5.
Funciones modulares
Si q = e 2πiτ , entonces q −1/60 G ( q ) yq 11/60 H ( q ) son funciones modulares de τ.
Aplicaciones
Las identidades de Rogers-Ramanujan aparecieron en la solución de Baxter del modelo de hexágono duro en mecánica estadística.
La fracción continua de Ramanujan es
Relaciones con álgebras de Lie afines y álgebras de operadores de vértices
James Lepowsky y Robert Lee Wilson fueron los primeros en probar las identidades de Rogers-Ramanujan utilizando técnicas completamente teóricas de representación . Demostraron estas identidades usando módulos de nivel 3 para el álgebra de Lie afín.. En el curso de esta prueba inventaron y usaron lo que llamaron-álgebras. El enfoque de Lepowsky y Wilson es universal, ya que es capaz de tratar todas las álgebras de Lie afines en todos los niveles. Se puede utilizar para buscar (y probar) nuevas identidades de partición. El primer ejemplo de este tipo es el de las identidades de Capparelli descubiertas por Stefano Capparelli utilizando módulos de nivel 3 para el álgebra de Lie afín..
Ver también
Referencias
- Rogers, LJ; Ramanujan, Srinivasa (1919), "Prueba de ciertas identidades en análisis combinatorio", Cambr. Phil. Soc. Proc. , 19 : 211–216, reimpreso como documento 26 en la recopilación de documentos de Ramanujan
- Rogers, LJ (1892), "Sobre la expansión de algunos productos infinitos" , Proc. London Math. Soc. , 24 (1): 337–352, doi : 10.1112 / plms / s1-24.1.337 , JFM 25.0432.01
- Rogers, LJ (1893), "Segunda memoria sobre la expansión de ciertos productos infinitos" , Proc. London Math. Soc. , 25 (1): 318–343, doi : 10.1112 / plms / s1-25.1.318
- Rogers, LJ (1894), "Tercera memoria sobre la expansión de ciertos productos infinitos" , Proc. London Math. Soc. , 26 (1): 15–32, doi : 10.1112 / plms / s1-26.1.15
- Schur, Issai (1917), "Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche", Sitzungsberichte der Berliner Akademie : 302–321
- WN Bailey , Serie hipergeométrica generalizada , (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No 32, Cambridge University Press, Cambridge.
- George Gasper y Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition , (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96 , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4 .
- Bruce C. Berndt , Heng Huat Chan, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son, La fracción continua de Rogers-Ramanujan , J. Comput. Apl. Matemáticas. 105 (1999), págs. 9-24.
- Cilanne Boulet, Igor Pak , Una prueba combinatoria de las identidades Rogers-Ramanujan y Schur , Revista de teoría combinatoria, Ser. A, vol. 113 (2006), 1019–1030.
- Slater, LJ (1952), "Otras identidades del tipo Rogers-Ramanujan", Proceedings of the London Mathematical Society , Serie 2, 54 (2): 147-167, doi : 10.1112 / plms / s2-54.2.147 , ISSN 0024-6115 , MR 0049225
- James Lepowsky y Robert L. Wilson, Construcción del álgebra de Lie afín, Com. Matemáticas. Phys. 62 (1978) 43-53.
- James Lepowsky y Robert L. Wilson, Una nueva familia de álgebras subyacente a las identidades Rogers-Ramanujan , Proc. Natl. Acad. Sci. USA 78 (1981), 7254-7258.
- James Lepowsky y Robert L. Wilson, La estructura de los módulos estándar, I: Álgebras universales y las identidades de Rogers-Ramanujan , Invent. Matemáticas. 77 (1984), 199-290.
- James Lepowsky y Robert L. Wilson, La estructura de los módulos estándar, II: El caso, gradación principal , Invent. Matemáticas. 79 (1985), 417 - 442.
- Stefano Capparelli, Relaciones de operador de vértice para álgebras afines e identidades combinatorias , Tesis (Ph.D.) - Rutgers La Universidad Estatal de Nueva Jersey - New Brunswick. 1988. 107 págs.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Identidades de Rogers-Ramanujan" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Fracción continua de Rogers-Ramanujan" . MathWorld .