En física teórica , los campos Ramond-Ramond son campos de forma diferencial en el espacio - tiempo de 10 dimensiones de las teorías de supergravedad de tipo II , que son los límites clásicos de la teoría de cuerdas de tipo II . Los rangos de los campos dependen de la teoría de tipo II que se considere. Como argumentó Joseph Polchinski en 1995, las D-branas son los objetos cargados que actúan como fuentes para estos campos, de acuerdo con las reglas de la electrodinámica de la forma p . Se ha conjeturado que los campos RR cuánticos no son formas diferenciales, sino que están clasificados por la teoría K retorcida .
El adjetivo "Ramond-Ramond" refleja el hecho de que en el formalismo RNS , estos campos aparecen en el sector Ramond-Ramond en el que todos los fermiones vectoriales son periódicos. Ambos usos de la palabra "Ramond" se refieren a Pierre Ramond , quien estudió tales condiciones de frontera (las llamadas condiciones de frontera de Ramond ) y los campos que las satisfacen en 1971. [1]
Definiendo los campos
Los campos de cada teoría
Como en la teoría del electromagnetismo de Maxwell y su generalización, la electrodinámica en forma p , los campos Ramond-Ramond (RR) vienen en pares que consisten en un potencial en forma p C p y una fuerza de campo en forma ( p + 1) G p +1 . La intensidad de campo, como se define habitualmente, es la derivada exterior del potencial G p +1 = dC p .
Como es habitual en tales teorías, si se permiten configuraciones topológicamente no triviales o materia cargada ( D-branas ), entonces las conexiones solo se definen en cada parche de coordenadas del espacio-tiempo, y los valores en varios parches se pegan usando funciones de transición. A diferencia del caso del electromagnetismo, en presencia de una intensidad de campo de 3 formas de Neveu-Schwarz no trivial, la intensidad de campo definida anteriormente ya no es invariante de calibre y, por lo tanto, también debe definirse en forma de parche con la cuerda de Dirac fuera de un parche dado interpretado como una D-brana. Esta complicación adicional es responsable de algunos de los fenómenos más interesantes de la teoría de cuerdas, como la transición de Hanany-Witten .
Las elecciones de valores permitidos de p dependen de la teoría. En la supergravedad de tipo IIA, existen campos para p = 1 yp = 3. En la supergravedad de tipo IIB, por otro lado, existen campos para p = 0, p = 2 yp = 4, aunque el campo p = 4 está restringido para satisfacer la condición de auto-dualidad G 5 = * G 5 donde * es la estrella de Hodge . La condición de auto-dualidad no puede ser impuesta por un lagrangiano sin introducir campos adicionales o sin arruinar la invariancia manifiesta de superpoincaré de la teoría, por lo que la supergravedad de tipo IIB se considera una teoría no lagrangiana. Una tercera teoría, llamada supergravedad masiva o de Romanos IIA , incluye una intensidad de campo G 0 , llamada masa romana. Al ser una forma cero, no tiene una conexión correspondiente. Además, las ecuaciones de movimiento imponen que la masa romana es constante. En la teoría cuántica, Joseph Polchinski ha demostrado que G 0 es un número entero, que salta en uno cuando se cruza una brana D8 .
La formulación democrática
A menudo es conveniente utilizar la formulación democrática de las teorías de cuerdas de tipo II, que fue introducida por Paul Townsend en p -Brane Democracy . En D-brane Wess-Zumino Actions, T-duality y la constante cosmológica Michael Green , Chris Hull y Paul Townsend construyeron las intensidades de campo y encontraron las transformaciones de calibre que las dejan invariables. Finalmente, en New Formulations of D = 10 Supersymmetry y D8-O8 Domain Walls, los autores completaron la formulación, proporcionando un Lagrangiano y explicando el papel de los fermiones. En esta formulación, se incluyen todas las intensidades de campo pares en IIA y todas las intensidades de campo impares en IIB. Las intensidades de campo adicionales están definidas por la condición de estrella G p = * G 10 − p . Como comprobación de coherencia, observe que la condición de estrella es compatible con la auto-dualidad de G 5 , por lo que la formulación democrática contiene el mismo número de grados de libertad que la formulación original. De manera similar a los intentos de incluir simultáneamente los potenciales eléctricos y magnéticos en el electromagnetismo, es posible que los potenciales de calibre dual no se agreguen al lagrangiano formulado democráticamente de una manera que mantenga la localidad manifiesta de la teoría. Esto se debe a que los potenciales duales se obtienen de los potenciales originales integrando la condición de estrella.
Transformaciones de calibre Ramond-Ramond
Los Langragianos de supergravedad de tipo II son invariantes bajo una serie de simetrías locales , como difeomorfismos y transformaciones de supersimetría local . Además, los diversos campos de forma se transforman bajo las transformaciones de calibre de Neveu-Schwarz y Ramond-Ramond.
En la formulación democrática, las transformaciones de calibre Ramond-Ramond de los potenciales de calibre que dejan invariante la acción son
donde H es la intensidad de campo de 3 formas de Neveu-Schwarz y los parámetros del medidor son formas q. A medida que las transformaciones del indicador se mezclanes necesario que cada forma RR se transforme simultáneamente, utilizando el mismo conjunto de parámetros de calibre. Los términos dependientes de H, que no tienen análogo en electromagnetismo, son necesarios para preservar la contribución a la acción de los términos de Chern-Simons que están presentes en las teorías de supergravedad de tipo II.
Observe que hay varios parámetros de calibre correspondientes a la misma transformación de calibre, en particular, podemos agregar cualquier forma cerrada ( d + H ) a Lambda. Por lo tanto, en la teoría cuántica también debemos medir las transformaciones de calibre y luego medirlas, y así sucesivamente hasta que las dimensiones sean lo suficientemente bajas. En la cuantificación de Fadeev-Popov, esto corresponde a agregar una torre de fantasmas. Matemáticamente, en el caso en el que H desaparece, la estructura resultante es la cohomología de Deligne del espacio-tiempo. Para H no trivial, después de incluir la condición de cuantificación de Dirac , se ha conjeturado que corresponde en cambio a la teoría K diferencial .
Observe que, gracias a los términos H en las transformaciones del indicador, las intensidades de campo también se transforman de manera no trivial.
Las intensidades de campo mejoradas
A menudo se introducen intensidades de campo mejoradas
que son invariantes en cuanto al calibre.
Aunque son invariantes en cuanto al calibre, las intensidades de campo mejoradas no están cerradas ni cuantificadas, en cambio, solo están cerradas torcidas. Esto significa que satisfacen la ecuación de movimiento., que es solo la identidad de Bianchi . También están "cuantificados retorcidos" en el sentido de que se pueden transformar de nuevo a la intensidad de campo original cuyas integrales sobre ciclos compactos se cuantifican. Son las intensidades de campo originales que provienen de la carga de D-brana, en el sentido de que la integral de la intensidad de campo de la forma p original G p sobre cualquier ciclo p contráctil es igual a la carga de D (8-p) -brana vinculado por ese ciclo. Dado que se cuantifica la carga de D-brana, se cuantifica G p , y no la intensidad de campo mejorada.
Ecuaciones de campo
Ecuaciones e identidades de Bianchi
Como es habitual en las teorías de gauge en forma de p , los campos de formulario deben obedecer las ecuaciones de campo clásicas y las identidades de Bianchi . Los primeros expresan la condición de que las variaciones de la acción con respecto a los diversos campos deben ser triviales. Ahora restringiremos nuestra atención a las ecuaciones de campo que provienen de la variación de los campos de Ramond-Ramond (RR), pero en la práctica, estas deben complementarse con las ecuaciones de campo que provienen de las variaciones del campo B de Neveu-Schwarz , el gravitón, el dilatón y sus supercompañeros los gravitinos y el dilatino.
En la formulación democrática, la identidad de Bianchi para la intensidad de campo G p + 1 es la ecuación de campo clásica para su dual de Hodge G 9 − p , por lo que será suficiente imponer las identidades de Bianchi para cada campo RR. Estas son solo las condiciones en las que los potenciales RR C p están definidos localmente y que, por lo tanto, la derivada exterior que actúa sobre ellos es nilpotente.
Las D-branas son fuentes de campos RR
En muchas aplicaciones, se desea agregar fuentes para los campos RR. Estas fuentes se denominan D-branas . Como en el electromagnetismo clásico, se pueden agregar fuentes incluyendo un acoplamiento C p del potencial de forma p a una corriente de forma (10-p) en la densidad de Lagrange . La convención habitual en la literatura sobre teoría de cuerdas parece ser la de no escribir este término explícitamente en la acción.
La corriente modifica la ecuación de movimiento que proviene de la variación de C p . Como es el caso de los monopolos magnéticos en el electromagnetismo, esta fuente también invalida la identidad dual de Bianchi, ya que es un punto en el que el campo dual no está definido. En la ecuación de movimiento modificadaaparece en el lado izquierdo de la ecuación de movimiento en lugar de cero. Para simplificar en el futuro, también intercambiaremos py 7 - p , entonces la ecuación de movimiento en presencia de una fuente es
La forma (9-p) es la corriente Dp-brana, lo que significa que es Poincaré dual al volumen mundial de un objeto extendido ( p + 1) -dimensional llamado Dp-brana. La discrepancia de uno en el esquema de denominación es histórica y proviene del hecho de que una de las direcciones p + 1 abarcadas por la Dp-brana es a menudo temporal, dejando p direcciones espaciales.
La identidad de Bianchi anterior se interpreta en el sentido de que la Dp-brana, en analogía con los monopolos magnéticos en el electromagnetismo, está cargada magnéticamente bajo la RR p -forma C 7− p . Si, en cambio, se considera que esta identidad de Bianchi es una ecuación de campo para C p +1 , entonces se dice que la Dp-brana está cargada eléctricamente bajo la forma ( p + 1) C p + 1 .
La ecuación de movimiento anterior implica que hay dos formas de derivar la carga Dp-brana de los flujos ambientales. Primero, se puede integrar dG 8 − p sobre una superficie, lo que dará la carga Dp-brana intersecada por esa superficie. El segundo método está relacionado con el primero por el teorema de Stokes . Uno puede integrar G 8 − p durante un ciclo, esto producirá la carga de Dp-brana vinculada por ese ciclo. La cuantificación de la carga de Dp-brana en la teoría cuántica implica entonces la cuantificación de las intensidades de campo G, pero no de las intensidades de campo mejoradas F.
Interpretación retorcida de la teoría K
Se ha conjeturado que los campos RR, así como las D-branas, se clasifican mediante la teoría K retorcida . En este marco, las ecuaciones de movimiento anteriores tienen interpretaciones naturales. Las ecuaciones de código libre de movimiento para las intensidades de campo mejoradas F implican que la suma formal de la totalidad de la F p 'S es un elemento de la H-torcido de Rham cohomology . Esta es una versión de la cohomología de De Rham en la que el diferencial no es la derivada exterior d, sino (d + H) donde H es la forma 3 de Neveu-Schwarz. Observe que (d + H), como es necesario para que la cohomología esté bien definida, cuadra a cero.
Las intensidades de campo mejoradas F viven en la teoría clásica, donde la transición de cuántica a clásica es interpretada como tensor por los racionales. Entonces, las F deben ser una versión racional de la teoría K retorcida. Ya se conoce una versión tan racional, de hecho una clase característica de la teoría K retorcida. Es la clase retorcida de Chern definida en la teoría K retorcida y la teoría K de Bundle Gerbes por Peter Bouwknegt , Alan L. Carey , Varghese Mathai , Michael K. Murray y Danny Stevenson y extendida en carácter Chern en la teoría K retorcida: Casos equivariantes y holomorfos . Los autores han demostrado que los caracteres retorcidos de Chern son siempre elementos de la cohomología de H-torcido de Rham.
A diferencia de las intensidades de campo mejoradas, las intensidades de campo originales G son clases de cohomología integrales no retorcidas. Además, las G no son invariantes en cuanto al calibre, lo que significa que no están definidas de forma única, sino que solo pueden definirse como clases de equivalencia. Estos corresponden a las clases de cohomología en la construcción de la secuencia espectral de Atiyah Hirzebruch de la teoría K retorcida, que solo se definen hasta los términos que están cerrados bajo cualquiera de una serie de operadores diferenciales .
Los términos fuente parecen ser obstáculos a la existencia de una clase de teoría K. Las otras ecuaciones de movimiento, como las que se obtienen al variar el campo B de NS, no tienen interpretaciones de la teoría K. La incorporación de estas correcciones en el marco de la teoría K es un problema abierto. Para obtener más información sobre este problema, haga clic aquí .
Ver también
- Campo Kalb-Ramond
Notas
- ↑ Ramond, P. (15 de mayo de 1971). "Teoría dual para fermiones libres". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 3 (10): 2415–2418. doi : 10.1103 / physrevd.3.2415 . ISSN 0556-2821 .
Referencias
- Una buena introducción a las diversas intensidades de campo en las teorías con términos de Chern-Simons son los términos de Chern-Simons y las tres nociones de carga de Donald Marolf .
- La formulación democrática de supergravedades de 10 dimensiones se puede encontrar en Nuevas formulaciones de Supersimetría D = 10 y Muros de dominio D8-O8 de Eric Bergshoeff , Renata Kallosh , Tomás Ortín , Diederik Roest y Antoine Van Proeyen . Incluye muchos detalles ausentes en el artículo original de Townsend, pero restringe la atención a una forma trivial de Neveu-Schwarz trivial topológicamente.