En matemáticas , la cohomología de Deligne es la hipercohomología del complejo de Deligne de una variedad compleja . Fue introducido por Pierre Deligne en un trabajo inédito alrededor de 1972 como una teoría de cohomología para variedades algebraicas que incluye tanto la cohomología ordinaria como los jacobianos intermedios .
Para descripciones introductorias de la cohomología de Deligne, véanse Brylinski (2008 , sección 1.5), Esnault & Viehweg (1988) y Gomi (2009 , sección 2).
Definición
El complejo analítico de Deligne Z ( p ) D, an en una variedad analítica compleja X es
donde Z ( p ) = (2π i) p Z . Dependiendo del contexto,es el complejo de formas diferenciales suaves (es decir, C ∞ ) o de formas holomórficas, respectivamente. La cohomología de Deligne H q
D, an ( X , Z ( p )) es la q -ésima hipercohomología del complejo de Deligne. Una definición alternativa de este complejo se da como el límite de homotopía [1] del diagrama.
Propiedades
Grupos de cohomología Deligne H q
D ( X , Z ( p )) se puede describir geométricamente, especialmente en grados bajos. Para p = 0, concuerda con el q -ésimo grupo de cohomología singular (con coeficientes Z ), por definición. Para q = 2 y p = 1, es isomorfo al grupo de clases de isomorfismo de suave (o holomorphic, dependiendo del contexto) director C × -bundles sobre X . Para p = q = 2, es el grupo de clases de isomorfismo de paquetes C × con conexión . Para q = 3 yp = 2 o 3, se dispone de descripciones en términos de gerbios ( Brylinski (2008) ). Esto se ha generalizado a una descripción en grados superiores en términos de espacios de clasificación iterados y conexiones en ellos ( Gajer (1997) ).
Relación con las clases de Hodge
Recuerde que hay un subgrupo de clases de cohomología integral en llamado el grupo de clases de Hodge. Hay una secuencia exacta que relaciona la cohomología de Deligne, sus jacobianos intermedios y este grupo de clases de Hodge como una secuencia breve y exacta.
Aplicaciones
Cohomology Deligne se utiliza para formular conjeturas Beilinson en valores especiales de la L-funciones .
Extensiones
Existe una extensión de la cohomología de Deligne definida para cualquier espectro simétrico [1] donde por extraño que pueda compararse con la cohomología ordinaria de Deligne en variedades analíticas complejas.
Ver también
Referencias
- ↑ a b Hopkins, Michael J .; Quick, Gereon (marzo de 2015). "Bordismo complejo filtrado de Hodge" . Revista de topología . 8 (1): 147–183. arXiv : 1212.2173 . doi : 10.1112 / jtopol / jtu021 .
- Cohomología de Deligne-Beilinson
- Geometría de la cohomología de Deligne
- Notas sobre cohomología diferencial y gerbios
- Cohomología suave retorcida de Deligne
- Conjetura de Bloch, cohomología de Deligne y grupos de comida superior
- Brylinski, Jean-Luc (2008) [1993], Espacios de bucle, clases de características y cuantificación geométrica , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007 / 978-0-8176-4731-5 , ISBN 978-0-8176-4730-8, MR 2362847
- Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1988), "Cohomología de Deligne-Beĭlinson" (PDF) , Conjeturas de Beĭlinson sobre valores especiales de funciones L , Perspect. Math., 4 , Boston, MA: Academic Press , págs. 43–91, ISBN 978-0-12-581120-0, MR 0944991
- Gajer, Pawel (1997), "Geometry of Deligne cohomology", Inventiones Mathematicae , 127 (1): 155-207, arXiv : alg-geom / 9601025 , Bibcode : 1996InMat.127..155G , doi : 10.1007 / s002220050118 , ISSN 0020-9910
- Gomi, Kiyonori (2009), "Representaciones unitarias proyectivas de grupos cohomológicos suaves de Deligne", Journal of Geometry and Physics , 59 (9): 1339-1356, arXiv : math / 0510187 , Bibcode : 2009JGP .... 59.1339G , doi : 10.1016 / j.geomphys.2009.06.012 , ISSN 0393-0440 , MR 2541824