Rango en rango
En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , una incrustación de rango en rango es una gran propiedad cardinal definida por uno de los siguientes cuatro axiomas dados en orden de fuerza de consistencia creciente. (Un conjunto de rango <λ es uno de los elementos del conjunto V λ de la jerarquía de von Neumann ).
Estos son esencialmente los axiomas cardinales grandes conocidos más fuertes que no se sabe que sean inconsistentes en ZFC ; el axioma de los cardenales Reinhardt es más fuerte, pero no es consistente con el axioma de elección .
Si j es la incrustación elemental mencionada en uno de estos axiomas y κ es su punto crítico , entonces λ es el límite de cuando n va a ω. De manera más general, si se cumple el axioma de elección , se puede demostrar que si hay una incrustación elemental no trivial de V α en sí mismo, entonces α es un ordinal límite de cofinalidad ω o el sucesor de dicho ordinal.
Al principio se sospechó que los axiomas I0, I1, I2 e I3 eran inconsistentes (en ZFC), ya que se pensó que era posible que el teorema de inconsistencia de Kunen de que los cardenales de Reinhardt son inconsistentes con el axioma de elección pudiera extenderse a ellos, pero esto no ha sido posible. Sin embargo, sucedió y ahora se cree que son consistentes.
Cada I1 cardinal κ (a veces llamado ω-cardenales enormes) es un cardenal I2 y tiene un conjunto estacionario de cardenales I2 debajo de él.
El axioma I1 implica que V λ + 1 (equivalentemente, H (λ + )) no satisface V = HOD. No hay un conjunto S⊂λ definible en V λ + 1 (incluso a partir de los parámetros V λ y ordinales <λ + ) con S cofinal en λ y | S | <λ, es decir, no hay tales S testigos de que λ es singular. Y de manera similar para Axiom I0 y definibilidad ordinal en L (V λ + 1 ) (incluso a partir de parámetros en V λ ). Sin embargo, globalmente, e incluso en V λ , [1] V = HOD es relativamente consistente con Axiom I1.