En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas, el teorema de inconsistencia de Kunen , probado por Kenneth Kunen ( 1971 ), muestra que varios axiomas cardinales grandes plausibles son inconsistentes con el axioma de elección .
Algunas consecuencias del teorema de Kunen (o su demostración) son:
- No hay una incrustación elemental no trivial del universo V en sí mismo. En otras palabras, no hay cardenal Reinhardt .
- Si j es una incrustación elemental del universo V en un modelo interno M , y λ es el punto fijo más pequeño de j por encima del punto crítico κ de j , entonces M no contiene el conjunto j "λ (la imagen de j restringida a λ).
- No hay un cardenal de ω-enorme .
- No hay una incrustación elemental no trivial de V λ + 2 en sí mismo.
No se sabe si el teorema de Kunen todavía lleva a cabo en ZF (ZFC sin el axioma de elección), aunque Suzuki (1999) mostró que no hay ninguna incrustación primaria definible de V en V . Es decir, no existe una fórmula J en el lenguaje de la teoría de conjuntos tal que para algún parámetro p ∈ V para todos los conjuntos x ∈ V e y ∈ V :
Kunen usó la teoría de conjuntos de Morse-Kelley en su demostración. Si la prueba se reescribe para usar ZFC, entonces se debe agregar la suposición de que el reemplazo es válido para las fórmulas que involucran a j . De lo contrario, ni siquiera se podría demostrar que j "λ existe como un conjunto. El conjunto prohibido j " λ es crucial para la demostración. La primera muestra de prueba que no pueden estar en M . Las otras partes del teorema se derivan de eso.
Es posible tener modelos de teoría de conjuntos que tengan incrustaciones elementales en sí mismos, al menos si se asumen algunos axiomas cardinales grandes y leves. Por ejemplo, si 0 # existe, entonces hay una incrustación elemental del universo construible L en sí mismo. Esto no contradice el teorema de Kunen porque si 0 # existe, entonces L no puede ser todo el universo de conjuntos.
Ver también
Referencias
- Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-540-88867-3 , ISBN 978-3-540-00384-7
- Kunen, Kenneth (1971), "Embeddings elementales y combinatoria infinita", Journal of Symbolic Logic , 36 (3): 407–413, doi : 10.2307 / 2269948 , JSTOR 2269948 , MR 0311478
- Suzuki, Akira (1999), "No se puede definir ninguna incrustación elemental de V en V a partir de parámetros", Journal of Symbolic Logic , 64 (4): 1591-1594, doi : 10.2307 / 2586799 , ISSN 0022-4812 , MR 1780073
- Zapletal, Jindřich (1996), "Una nueva prueba de la inconsistencia de Kunen", Proceedings of the American Mathematical Society , 124 (7): 2203-2204, doi : 10.1090 / S0002-9939-96-03281-9 , ISSN 0002-9939 , MR 1317054