En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas, un cardenal Reinhardt es una especie de cardenal grande . Los cardenales Reinhardt se consideran bajo ZF (teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección ), porque son inconsistentes con ZFC (ZF con el axioma de elección). Fueron sugeridos (Reinhardt 1967 , 1974 ) por el matemático estadounidense William Nelson Reinhardt (1939-1998).
Definición
Un cardenal de Reinhardt es el punto crítico de una incrustación elemental no trivial de en sí mismo.
Esta definición se refiere explícitamente a la clase adecuada . En ZF estándar, las clases son de la forma por algún set y fórmula . Pero se demostró en Suzuki ( 1999 ) que tal clase no es una incrustación elemental. Entonces, los cardenales Reinhardt son inconsistentes con esta noción de clase.
Hay otras formulaciones de los cardenales de Reinhardt que no se sabe que sean inconsistentes. Uno es agregar un nuevo símbolo de función al lenguaje de ZF, junto con axiomas que afirman que es una incrustación elemental de , y axiomas de separación y recolección para todas las fórmulas que involucran . Otra es utilizar una teoría de clases como NBG o KM , que admite clases que no necesitan ser definibles en el sentido anterior.
Teorema de inconsistencia de Kunen
Kunen ( 1971 ) demostró su teorema de inconsistencia , mostrando que la existencia de una incrustación elementalcontradice NBG con el axioma de elección (y ZFC extendido por). Su demostración usa el axioma de elección, y todavía es una pregunta abierta si tal incrustación es consistente con NBG sin el axioma de elección (o con ZF más el símbolo extra y sus axiomas concomitantes).
El teorema de Kunen no es simplemente una consecuencia de Suzuki ( 1999 ), ya que es una consecuencia de NBG, y por lo tanto no requiere la suposición de quees una clase definible. Además, asumiendo existe, entonces hay una incrustación elemental de un modelo transitivo de ZFC (de hecho, el universo construible de Goedel ) en sí mismo. Pero tales incrustaciones no son clases de.
Axiomas más fuertes
Hay algunas variaciones de los cardenales de Reinhardt, que forman una jerarquía de hipótesis que afirman la existencia de incrustaciones elementales .
J3: Hay una incrustación elemental no trivial
J2: Hay una incrustación elemental no trivial y DC sostiene, donde es el punto menos fijo por encima del punto crítico.
J1: Hay un cardenal tal que para cada ordinal , hay una incrustación elemental con y tener un punto crítico .
Cada uno de J1 y J2 implica inmediatamente J3. Un cardenalcomo en J1 se le conoce como un super cardenal Reinhardt .
Los cardenales de Berkeley son cardenales grandes más fuertes sugeridos por Woodin .
Ver también
Referencias
- Jensen, Ronald (1995), "Modelos internos y grandes cardenales", El Boletín de lógica simbólica , El Boletín de lógica simbólica, vol. 1, No. 4, 1 (4): 393–407., CiteSeerX 10.1.1.28.1790 , doi : 10.2307 / 421129 , JSTOR 421129
- Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior: Grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2a ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3
- Kunen, Kenneth (1971), " Incrustaciones elementales y combinatoria infinita", Journal of Symbolic Logic , The Journal of Symbolic Logic, vol. 36, núm. 3, 36 (3): 407–413, doi : 10.2307 / 2269948 , JSTOR 2269948 , MR 0311478
- Reinhardt, WN (1967), Temas en las metamatemáticas de la teoría de conjuntos , Tesis doctoral, Universidad de California, Berkeley
- Reinhardt, WN (1974), "Observaciones sobre principios de reflexión, grandes cardenales e incrustaciones elementales". Teoría de conjuntos axiomáticos , Proc. Simpos. Pure Math., XIII, Part II, Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 189-205, MR 0401475
- Suzuki, Akira (1999), "No se puede definir ninguna incrustación elemental de V en V a partir de parámetros", Journal of Symbolic Logic , 64 (4): 1591-1594, doi : 10.2307 / 2586799 , JSTOR 2586799 , MR 1780073
enlaces externos
- Koellner, Peter (2014), La búsqueda de una profunda inconsistencia (PDF)