Teoremas de Ratner

En matemáticas , los teoremas de Ratner son un grupo de los principales teoremas de la teoría ergódica sobre flujos unipotentes en espacios homogéneos, probado por Marina Ratner alrededor de 1990. Los teoremas surgieron del trabajo anterior de Ratner sobre flujos de horociclo . El estudio de la dinámica de los flujos unipotentes jugó un papel decisivo en la demostración de la conjetura de Oppenheim de Grigory Margulis . Los teoremas de Ratner han guiado avances clave en la comprensión de la dinámica de los flujos unipotentes. Sus generalizaciones posteriores proporcionan formas de agudizar los resultados y extender la teoría al entorno de grupos algebraicos semisimples arbitrarios.sobre un campo local .

El teorema de cierre de órbita de Ratner afirma que los cierres de órbitas de flujos unipotentes en el cociente de un grupo de Lie por una red son subconjuntos geométricos agradables. El teorema de la equidistribución de Ratner afirma además que cada una de esas órbitas está equidistribuida en su cierre. El teorema de clasificación de medidas de Ratner es el enunciado más débil de que toda medida de probabilidad ergódica invariante es homogénea o algebraica : esto resulta ser un paso importante para demostrar la propiedad de equidistribución más general. No existe un acuerdo universal sobre los nombres de estos teoremas: se conocen de diversas formas como el "teorema de la rigidez de la medida", el "teorema de las medidas invariantes" y su "versión topológica", etc.

La declaración formal de tal resultado es la siguiente. Dejado ser un grupo de Lie , una celosía en , y un subgrupo con un parámetro de que consiste en unipotentes elementos, con el asociado flujo en . Luego del cierre de cada órbita de es homogénea. Esto significa que existe un subgrupo cerrado conectado de tal manera que la imagen de la órbita para la acción de por traslaciones correctas debajo de la proyección canónica está cerrada, tiene una medida invariante finita y contiene el cierre de la ${\ Displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ mathit {\ Gamma}}}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle u ^ {t}}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {t}}$ ${\ Displaystyle {\ mathit {\ Gamma}} \ setminus G}$ ${\ Displaystyle \ left \ {xu ^ {t} \ right \}}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {t}}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \, xS \,}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle {\ mathit {\ Gamma}} \ setminus G}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {t}}$ -orbita de como un subconjunto denso . ${\ Displaystyle x}$