En la aproximación diofántica , la conjetura de Oppenheim se refiere a representaciones de números mediante formas cuadráticas reales en varias variables. Fue formulado en 1929 por Alexander Oppenheim y más tarde la propiedad conjetura fue reforzada por Harold Davenport y Oppenheim. La investigación inicial sobre este problema consideró que el número n de variables era grande y aplicó una versión del método del círculo de Hardy-Littlewood . El trabajo definitivo de Margulis , asentando la conjetura en forma afirmativa, utilizó métodos derivados de la teoría ergódica y el estudio de subgrupos discretos degrupos de Lie semisimple .
Breve descripción
El teorema de Meyer establece que una forma cuadrática integral indefinida Q en n variables, n ≥ 5, representa de manera no trivial cero, es decir, existe un vector x distinto de cero con componentes enteros tales que Q ( x ) = 0. La conjetura de Oppenheim puede verse como un análogo de este enunciado para las formas Q que no son múltiplos de una forma racional. Afirma que en este caso, el conjunto de valores de Q en vectores enteros es un subconjunto denso de la línea real .
Historia
Oppenheim y Harold Davenport formularon varias versiones de la conjetura .
- Sea Q una forma cuadrática indefinida no degenerada real en n variables. Suponga que n ≥ 3 y Q no es un múltiplo de una forma con coeficientes racionales. Entonces, para cualquier ε > 0, existe un vector x distinto de cero con componentes enteros tales que | Q ( x ) | < ε .
Para n ≥ 5 esto fue conjeturado por Oppenheim en 1929; la versión más fuerte se debe a Davenport en 1946.
- Deje que Q y n tengan el mismo significado que antes. Entonces, para cualquier ε > 0, existe un vector x distinto de cero con componentes enteros tales que 0 <| Q ( x , x ) | < ε .
Esto fue conjeturado por Oppenheim en 1953 y probado por Birch, Davenport y Ridout para n al menos 21, y por Davenport y Heilbronn para formas diagonales en cinco variables. Otros resultados parciales se deben a Oppenheim (para formas en cuatro variables, pero bajo la fuerte restricción de que la forma representa cero sobre Z ), Watson, Iwaniec, Baker – Schlickewey. Trabajos iniciales de teoría analítica de números y teoría de reducción de formas cuadráticas.
La conjetura fue probada en 1987 por Margulis en completa generalidad utilizando métodos de teoría ergódica. La geometría de acciones de ciertos subgrupos unipotentes del grupo ortogonal sobre el espacio homogéneo de las celosías en R 3 juega un papel decisivo en este enfoque. Es suficiente establecer el caso n = 3. La idea de derivar la conjetura de Oppenheim a partir de un enunciado sobre acciones grupales homogéneas se suele atribuir a MS Raghunathan , quien observó en la década de 1970 que la conjetura para n = 3 es equivalente a la siguiente propiedad del espacio de celosías:
- Cualquier órbita relativamente compacta de SO (2, 1) en SL (3, R ) / SL (3, Z ) es compacta .
Sin embargo, Margulis comentó más tarde que en una forma implícita de esta equivalencia ya ocurría en un artículo de 1955 de Cassels y HPF Swinnerton-Dyer , aunque en un idioma diferente.
Poco después del avance de Margulis, Dani y Margulis simplificaron y generalizaron la demostración. Las versiones cualitativas de la conjetura de Oppenheim fueron probadas más tarde por Eskin-Margulis-Mozes. Borel y Prasad establecieron algunos análogos S -aritméticos. El estudio de las propiedades de los flujos unipotentes y cuasiunipotentes en espacios homogéneos sigue siendo un área activa de investigación, con aplicaciones a otras cuestiones de la teoría de la aproximación diofántica .
Ver también
Referencias
- Borel, Armand (1995). "Valores de formas cuadráticas indefinidas en puntos integrales y flujos en espacios de celosías". Toro. Amer. Matemáticas. Soc. 32 (2): 184-204. arXiv : matemáticas / 9504223 . doi : 10.1090 / S0273-0979-1995-00587-2 . Señor 1302785 . S2CID 17947810 .
- Davenport, Harold (2005) [1963]. TD Browning (ed.). Métodos analíticos para ecuaciones diofánticas y desigualdades diofánticas . Biblioteca de matemáticas de Cambridge. Con un prefacio de RC Vaughan, DR Heath-Brown y DE Freeman (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-60583-0. Señor 2152164 . Zbl 1125.11018 .
- Margulis, Grigory (1997). "Conjetura de Oppenheim". En Atiyah, Michael; Iagolnitzer, Daniel (eds.). Conferencias de Fields Medallistas . Serie científica mundial en matemáticas del siglo XX. 5 . River Edge, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co, Inc. págs. 272–327. doi : 10.1142 / 9789812385215_0035 . ISBN 981-02-3117-2. Señor 1622909 .
- Oppenheim, Alexander (1929). "Los mínimos de formas cuadráticas cuaternarias indefinidas" . Proc. Natl. Acad. Sci. EE. UU. 15 (9): 724–727. Código Bibliográfico : 1929PNAS ... 15..724O . doi : 10.1073 / pnas.15.9.724 . PMC 522544 . PMID 16577226 .