En dinámica de fluidos , la ecuación de Rayleigh o la ecuación de estabilidad de Rayleigh es una ecuación diferencial ordinaria lineal para estudiar la estabilidad hidrodinámica de un flujo de cizallamiento paralelo, incompresible e invisible . La ecuación es: [1]
con la velocidad de flujo del flujo base estable cuya estabilidad se va a estudiar yes la dirección transversal a la corriente (es decir, perpendicular a la dirección del flujo). Másestá el valor complejo amplitud de los infinitesimal función de corriente perturbaciones aplica al flujo de base,es el número de onda de las perturbaciones yes la velocidad de fase con la que se propagan las perturbaciones en la dirección del flujo. El primo denota diferenciación con respecto a
Fondo
La ecuación lleva el nombre de Lord Rayleigh , quien la introdujo en 1880. [2] La ecuación de Orr-Sommerfeld , introducida más tarde, para el estudio de la estabilidad del flujo viscoso paralelo , se reduce a la ecuación de Rayleigh cuando la viscosidad es cero. [3]
La ecuación de Rayleigh, junto con las condiciones de contorno adecuadas , suele plantear un problema de valores propios . Para un número de onda dado (valor real) y velocidad media del flujo los valores propios son las velocidades de fasey las funciones propias son las amplitudes de función de flujo asociadasEn general, los valores propios forman un espectro continuo . En ciertos casos adicionales, puede haber un espectro discreto de pares en valores conjugados complejos de Desde el número de onda ocurre solo como un cuadrado en la ecuación de Rayleigh, una solución (es decir y ) para el número de onda también es una solución para el número de onda [3]
La ecuación de Rayleigh solo se refiere a las perturbaciones bidimensionales del flujo. Del teorema de Squire se deduce que las perturbaciones bidimensionales son menos estables que las perturbaciones tridimensionales.
Si una velocidad de fase de valor real está entre el mínimo y el máximo de el problema tiene las llamadas capas críticas cerca dónde En las capas críticas, la ecuación de Rayleigh se vuelve singular . Estos fueron estudiados por primera vez por Lord Kelvin , también en 1880. [4] Su solución da lugar a un patrón llamado ojo de gato de líneas de corriente cerca de la capa crítica, cuando se observa en un marco de referencia que se mueve con la velocidad de fase.[3]
Derivación
Considere un flujo de corte paralelo en el dirección, que varía solo en la dirección del flujo transversal [1] La estabilidad del flujo se estudia agregando pequeñas perturbaciones a la velocidad del flujo. y en el y direcciones, respectivamente. El flujo se describe usando las ecuaciones de Euler incompresibles , que se convierten después de la linealización, usando componentes de velocidad y
con el operador de derivada parcial con respecto al tiempo, y de manera similar y con respecto a y Las fluctuaciones de presión asegúrese de que la ecuación de continuidad se ha completado. La densidad del fluido se denota comoy es una constante en el presente análisis. El mejor denota diferenciación de con respecto a su argumento
Las oscilaciones de flujo y se describen mediante una función de flujo asegurándose de que se cumpla la ecuación de continuidad:
Tomando el - y -derivados de la - y -momentum ecuación, y luego restando las dos ecuaciones, la presión se puede eliminar:
que es esencialmente la ecuación de transporte de vorticidad , siendo (menos) la vorticidad.
A continuación, se consideran las fluctuaciones sinusoidales:
con la amplitud de valor complejo de las oscilaciones de la función de flujo, mientras que es la unidad imaginaria () y denota la parte real de la expresión entre corchetes. Usando esto en la ecuación de transporte de vorticidad, se obtiene la ecuación de Rayleigh.
Las condiciones de contorno para paredes planas impermeables se derivan del hecho de que la función de la corriente es una constante en ellas. Entonces, en paredes impermeables, las oscilaciones de la función de flujo son cero, es decir Para los flujos ilimitados, las condiciones de contorno comunes son que
Notas
- ↑ a b Craik (1988 , págs. 21-27)
- ↑ Rayleigh (1880)
- ↑ a b c Drazin (2002 , págs. 138-154)
- ↑ Kelvin (1880)
Referencias
- Craik, ADD (1988), Interacciones de ondas y flujos de fluidos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36829-4
- Criminale, WO; Jackson, TL; Joslin, RD (2003), Teoría y cálculo de la estabilidad hidrodinámica , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63200-3
- Drazin, PG (2002), Introducción a la estabilidad hidrodinámica , Cambridge University Press, ISBN 0-521-00965-0
- Hirota, M .; Morrison, PJ ; Hattori, Y. (2014), "Condiciones de estabilidad variables necesarias y suficientes para el flujo de cizallamiento no viscoso", Proceedings of the Royal Society , A, 470 (20140322): 23 pp., ArXiv : 1402.0719 , Bibcode : 2014RSPSA.47040322H , doi : 10.1098 / rspa.2014.0322
- Kelvin, Lord (W. Thomson) (1880), "Sobre un infinito perturbador en la solución de Lord Rayleigh para ondas en un estrato de vórtice plano", Nature , 23 : 45–6, Bibcode : 1880Natur..23 ... 45. , doi : 10.1038 / 023045a0
- Rayleigh, Lord (JW Strutt) (1880), "Sobre la estabilidad o inestabilidad de ciertos movimientos de fluidos", Proceedings of the London Mathematical Society , 11 : 57–70