En mecánica de fluidos , la ecuación de Rayleigh-Plesset o la ecuación de Besant-Rayleigh-Plesset es una ecuación diferencial ordinaria que gobierna la dinámica de una burbuja esférica en un cuerpo infinito de fluido incompresible. [1] [2] [3] [4] Su forma general suele escribirse como
dónde
- es la densidad del líquido circundante, que se supone constante
- es el radio de la burbuja
- es la viscosidad cinemática del líquido circundante, que se supone constante
- es la tensión superficial de la interfaz burbuja-líquido
- , en el cual, es la presión dentro de la burbuja, que se supone uniforme y ¿Está la presión externa infinitamente lejos de la burbuja?
Siempre que es conocido y se da, la ecuación de Rayleigh-Plesset se puede utilizar para resolver el radio de burbuja variable en el tiempo .
La ecuación de Rayleigh-Plesset se deriva de las ecuaciones de Navier-Stokes bajo el supuesto de simetría esférica . [4]
Historia
Despreciando la tensión superficial y la viscosidad, la ecuación fue derivada por primera vez por WH Besant en su libro de 1859 con el enunciado del problema expresado como Una masa infinita de fluido incompresible homogéneo sobre el que no actúa ninguna fuerza está en reposo, y una porción esférica del fluido se aniquila repentinamente ; se requiere encontrar la alteración instantánea de la presión en cualquier punto de la masa, y el tiempo en el que se llenará la cavidad, suponiendo que la presión a una distancia infinita permanecerá constante (de hecho, Besant atribuye el problema a Cambridge Problemas de la Cámara de Senadores de 1847). [5] Despreciando las variaciones de presión dentro de la burbuja, Besant predijo que el tiempo necesario para llenar la cavidad sería
donde la integración fue realizada por Lord Rayleigh en 1917, quien derivó la ecuación del balance energético. Rayleigh también se dio cuenta de que la suposición de presión constante dentro de la cavidad se volvería incorrecta a medida que el radio disminuye y muestra que usando la ley de Boyle , si el radio de la cavidad disminuye en un factor de, entonces la presión cerca del límite de la cavidad se vuelve mayor que la presión ambiental. La ecuación fue aplicada por primera vez a las burbujas de cavitación viajeras por Milton S. Plesset en 1949 incluyendo los efectos de la tensión superficial. [6]
Derivación
La ecuación de Rayleigh-Plesset se puede derivar completamente de los primeros principios utilizando el radio de la burbuja como parámetro dinámico. [3] Considere una burbuja esférica con radio dependiente del tiempo, dónde es hora. Suponga que la burbuja contiene un vapor / gas distribuido homogéneamente con una temperatura uniforme y presion . Fuera de la burbuja hay un dominio infinito de líquido con densidad constante.y viscosidad dinámica . Deje que la temperatura y la presión lejos de la burbuja sean y . La temperaturase supone que es constante. A una distancia radial desde el centro de la burbuja, las diferentes propiedades del líquido son presión , temperatura , y velocidad radialmente hacia afuera . Tenga en cuenta que estas propiedades líquidas solo se definen fuera de la burbuja, por.
Conservación masiva
Por conservación de la masa , la ley del cuadrado inverso requiere que la velocidad radialmente hacia afueradebe ser inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el origen (el centro de la burbuja). [6] Por lo tanto, dejando ser una función del tiempo,
En el caso de transporte de masa cero a través de la superficie de la burbuja, la velocidad en la interfaz debe ser
lo que da eso
En el caso de que ocurra transporte de masa, la tasa de aumento de masa dentro de la burbuja viene dada por
con siendo el volumen de la burbuja. Si es la velocidad del líquido en relación con la burbuja en , entonces la masa que entra en la burbuja viene dada por
con siendo el área de la superficie de la burbuja. Ahora por conservación de masa, por lo tanto . Por eso
Por lo tanto
En muchos casos, la densidad del líquido es mucho mayor que la densidad del vapor, , así que eso puede ser aproximado por la forma original de transferencia de masa cero , de modo que [6]
Conservación del momento
Suponiendo que el líquido es un fluido newtoniano , la ecuación incompresible de Navier-Stokes en coordenadas esféricas para el movimiento en la dirección radial da
Sustituyendo la viscosidad cinemática y reorganizar da
por lo que sustituyendo de los rendimientos de conservación masiva
Tenga en cuenta que los términos viscosos se cancelan durante la sustitución. [6] Separar variables e integrar desde el límite de la burbuja a da
Condiciones de borde
Dejar sea la tensión normal en el líquido que apunta radialmente hacia afuera desde el centro de la burbuja. En coordenadas esféricas, para un fluido con densidad constante y viscosidad constante,
Por lo tanto, en una pequeña porción de la superficie de la burbuja, la fuerza neta por unidad de área que actúa sobre la lámina es
dónde es la tensión superficial . [6] Si no hay transferencia de masa a través del límite, entonces esta fuerza por unidad de área debe ser cero, por lo tanto
y así el resultado de la conservación del impulso se convierte en
donde reorganizar y dejar da la ecuación de Rayleigh-Plesset [6]
Usando la notación de puntos para representar derivadas con respecto al tiempo, la ecuación de Rayleigh-Plesset se puede escribir de manera más sucinta como
Soluciones
Recientemente, se encontraron soluciones analíticas de forma cerrada para la ecuación de Rayleigh-Plesset tanto para una burbuja vacía como para una llena de gas [7] y se generalizaron al caso N-dimensional. [8] También se estudió el caso en el que la tensión superficial está presente debido a los efectos de la capilaridad. [8] [9]
Además, para el caso especial en el que se desprecian la tensión superficial y la viscosidad, también se conocen aproximaciones analíticas de alto orden. [10]
En el caso estático, la ecuación de Rayleigh-Plesset se simplifica, dando como resultado la ecuación de Young-Laplace :
Cuando solo se consideran variaciones periódicas infinitesimales en el radio y la presión de la burbuja, la ecuación RP también produce la expresión de la frecuencia natural de la oscilación de la burbuja .
Referencias
- ^ Rayleigh, Lord (1917). "Sobre la presión desarrollada en un líquido durante el colapso de una cavidad esférica". Phil. Mag . 34 (200): 94–98. doi : 10.1080 / 14786440808635681 .
- ^ Plesset, MS (1949). "La dinámica de las burbujas de cavitación". J. Appl. Mech . 16 : 228-231.
- ^ a b Leighton, TG (17 de abril de 2007). "Derivación de la ecuación de Rayleigh-Plesset en términos de volumen" . Southampton , Reino Unido: Instituto de Investigación de Vibraciones y Sonidos. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ a b Lin, Hao; Brian D. Storey; Andrew J. Szeri (2002). "Inhomogeneidades impulsadas inercialmente en burbujas que colapsan violentamente: la validez de la ecuación de Rayleigh-Plesset" . Revista de Mecánica de Fluidos . 452 (1): 145-162. Código bibliográfico : 2002JFM ... 452..145L . doi : 10.1017 / S0022112001006693 . ISSN 0022-1120 .
- ^ Besant, WH (1859). Tratado de hidrostática e hidrodinámica. Deighton, Bell. Artículo. 158.
- ^ a b c d e f Brennen, Christopher E. (1995). Cavitación y dinámica de burbujas . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-509409-1.
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- ^ a b Kudryashov, Nikolay A .; Sinelshchikov, Dnitry I. (31 de diciembre de 2014). "Soluciones analíticas para problemas de dinámica de burbujas". Physics Letters A . 379 (8): 798–802. arXiv : 1608.00811 . Código bibliográfico : 2016arXiv160800811K . doi : 10.1016 / j.physleta.2014.12.049 .
- ^ Mancas, Stefan C .; Rosu, Haret C. (2016). "Cavitación de burbujas esféricas: soluciones de forma cerrada, paramétrica y numérica". Física de fluidos . 28 (2): 022009. arXiv : 1508.01157 . Código bibliográfico : 2016PhFl ... 28b2009M . doi : 10.1063 / 1.4942237 .
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