En matemáticas , un anillo cerrado verdadero es un anillo conmutativo A que es un subanillo de un producto de campos cerrados reales , que se cierra bajo continuas semi-algebraicas funciones definidas en los números enteros .
Ejemplos de anillos cerrados reales
Dado que la definición rigurosa de un anillo cerrado real es de naturaleza técnica, es conveniente ver primero una lista de ejemplos destacados. Los siguientes anillos son todos anillos cerrados reales:
- verdaderos campos cerrados . Estos son exactamente los anillos cerrados reales que son campos .
- el anillo de todas las funciones continuas de valor real en un espacio X completamente regular . Además, el anillo de todas las funciones continuas acotadas de valor real en X es real cerrado.
- subanillos convexos de campos cerrados reales. Estos son precisamente los anillos cerrados reales que también son anillos de valoración y que inicialmente fueron estudiados por Cherlin y Dickmann (utilizaron el término "anillo cerrado real" para lo que ahora se denomina "anillo de valoración real cerrado").
- el anillo A de todas las funciones semialgebraicas continuas en un conjunto semialgebraico de un campo cerrado real (con valores en ese campo). Además, el subanillo de todas las funciones acotadas (en cualquier sentido) en A es realmente cerrado.
- (generalizando el ejemplo anterior) el anillo de todas las funciones definibles continuas (acotadas) en un conjunto definible S de una expansión arbitraria de primer orden M de un campo cerrado real (con valores en M ). Además, el anillo de todas las funciones definibles (limitadas) está realmente cerrado.
- Los anillos cerrados reales son precisamente los anillos de secciones globales de espacios cerrados reales afines (una generalización de los espacios semialgebraicos ) y en este contexto fueron inventados por Niels Schwartz a principios de los años ochenta.
Definición
Un anillo cerrado real es un anillo unital conmutativo reducido A que tiene las siguientes propiedades:
- El conjunto de cuadrados de A es el conjunto de elementos no negativos de orden parcial ≤ en A y ( A , ≤) es un anillo f .
- Condición de convexidad: Para todo a , b en A , si 0 ≤ a ≤ b entonces b | a 2 .
- Para cada ideal primo p de A , el anillo de clase de residuo A / p está integralmente cerrado y su campo de fracciones es un campo cerrado real.
El enlace a la definición al principio de este artículo se encuentra en la sección sobre propiedades algebraicas a continuación.
El cierre real de un anillo conmutativo
Cada anillo unital conmutativo R tiene una llamada de cierre real de RCL ( R ) y esto depende única para un único homomorfismo de anillos sobre R . Esto significa que rcl ( R ) es un anillo cerrado real y hay un homomorfismo de anillo (no necesariamente inyectivo ). tal que por cada homomorfismo de anillo a algún otro anillo A cerrado real , hay un homomorfismo de anillo único con .
Por ejemplo, el cierre real del anillo polinomial es el anillo de funciones semialgebraicas continuas .
Un anillo arbitrario R es semi-real (es decir, −1 no es una suma de cuadrados en R ) si y solo si el cierre real de R no es el anillo nulo.
El cierre real de un campo ordenado es, en general, no el cierre real del terreno subyacente. Por ejemplo, el cierre real del subcampo ordenado de es el campo de números algebraicos reales , mientras que el cierre real del campo es el anillo (correspondiente a los dos órdenes de ). Más generalmente el cierre real de un campo F es un determinado producto subdirectos de los cierres reales de los campos ordenados ( F , P ), donde P corre a través de los ordenamientos de F .
Propiedades algebraicas
- La categoría RCR de anillos cerrados reales que tiene anillos cerrados reales como objetos y homomorfismos de anillo como morfismos tiene las siguientes propiedades:
- Los productos arbitrarios , los límites directos y los límites inversos (en la categoría de anillos unitales conmutativos) de los anillos cerrados reales son nuevamente cerrados reales. La suma de fibra de dos anillos cerrados verdadero B , C sobre algún anillo real cerrado A existe en RCR y es el verdadero cierre del producto tensorial de B y C sobre A .
- RCR tiene límites y colimits arbitrarios .
- RCR es una variedad en el sentido de álgebra universal (pero no una subvariedad de anillos conmutativos).
- Para un verdadero anillo cerrado A , el homomorfismo natural de A al producto de todos sus campos de residuos es un isomorfismo en un subanillo de este producto que se cierra bajo continuas semi-algebraicas funciones definidas sobre los números enteros. Por el contrario, todo subanillo de un producto de campos cerrados reales con esta propiedad es realmente cerrado.
- Si I es un ideal radical de un anillo cerrado real A , entonces también el anillo de clase de residuo A / I es realmente cerrado. Si I y J son ideales radicales de un anillo cerrado real, entonces la suma I + J es nuevamente un ideal radical.
- Todas las localizaciones clásicas S −1 A de un anillo cerrado real A son cerradas reales. El casco epimórfico y el anillo completo de cocientes de un anillo cerrado real vuelven a estar realmente cerrados.
- El anillo de holomorfia (real) H ( A ) de un anillo A real cerrado es de nuevo realmente cerrado. Por definición, H ( A ) consiste en todos los elementos de f en A con la propiedad -N ≤ f ≤ N por algún número natural N . Aplicado a los ejemplos anteriores, esto significa que los anillos de funciones continuas acotadas (semi-algebraicas / definibles) son todos realmente cerrados.
- El mapa de soporte del espectro real de un anillo cerrado real a su espectro de Zariski , que envía una P ordenadora a su soporte.es un homeomorfismo . En particular, el espectro de Zariski de cada anillo cerrado real A es un sistema de raíces (en el sentido de la teoría de grafos ) y, por lo tanto, A es también un anillo de Gel'fand (es decir, cada ideal primo de A está contenido en un ideal máximo único de A). ). La comparación del espectro de Zariski de A con el espectro de Zariski de H ( A ) conduce a un homeomorfismo entre los espectros máximos de estos anillos, generalizando el teorema de Gel'fand-Kolmogorov para anillos de funciones continuas de valor real.
- El mapa natural de r de un anillo arbitrario R a su rcl cierre real ( R ) como se explicó anteriormente, induce un homeomorfismo a partir del espectro real de RCL ( R ) para el espectro real de R .
- Resumiendo y fortaleciendo significativamente las dos propiedades anteriores, lo siguiente es cierto: El mapa natural r de un anillo arbitrario R a su cierre real rcl ( R ) induce una identificación del esquema afín de rcl ( R ) con el espacio cerrado real afín de R .
- Todo anillo cerrado real local es un anillo henseliano (pero, en general, los dominios cerrados reales locales no son anillos de valoración).
Propiedades teóricas del modelo
La clase de anillos cerrados reales es axiomatizable e indecidible de primer orden . La clase de todos los anillos de valoración cerrados reales es decidible (por Cherlin-Dickmann) y la clase de todos los campos cerrados reales es decidible (por Tarski). Después de nombrar una relación radical definible, los anillos cerrados reales tienen un compañero modelo , a saber, anillos cerrados reales regulares de von Neumann .
Comparación con caracterizaciones de campos cerrados reales
Hay muchas caracterizaciones diferentes de los campos cerrados reales . Por ejemplo, en términos de maximalidad (con respecto a las extensiones algebraicas): un campo cerrado real es un campo ordenable al máximo; o, un campo cerrado real (junto con su orden único) es un campo ordenado al máximo. Otra caracterización dice que el teorema del valor intermedio es válido para todos los polinomios en una variable sobre el campo (ordenado). En el caso de los anillos conmutativos, todas estas propiedades pueden (y son) analizadas en la literatura. Todos conducen a diferentes clases de anillos que, lamentablemente, también se denominan "cerrados reales" (porque una cierta caracterización de los campos cerrados reales se ha extendido a los anillos). Ninguno de ellos conduce a la clase de anillos cerrados reales y ninguno de ellos permite una noción satisfactoria de una operación de cierre. Un punto central en la definición de anillos cerrados reales es la globalización de la noción de un campo cerrado real a anillos cuando estos anillos se representan como anillos de funciones en algún espacio (típicamente, el espectro real del anillo).
Referencias
- Cherlin, Gregory. Anillos de funciones continuas: problemas de decisión Teoría de modelos de álgebra y aritmética (Proc. Conf., Karpacz, 1979), págs. 44–91, Lecture Notes in Math., 834, Springer, Berlín, 1980.
- Cherlin, Gregory (1-RTG2); Dickmann, Max A. Anillos cerrados reales. II. Teoría de modelos. Ana. Pure Appl. Lógica 25 (1983), no. 3, 213-231.
- A. Prestel, N. Schwartz. Teoría de modelos de anillos cerrados reales. Teoría de la valoración y sus aplicaciones, vol. I (Saskatoon, SK, 1999), 261-290, Fields Inst. Comun., 32, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 2002.
- Schwartz, Niels. La teoría básica de los espacios cerrados reales. Memorias de la American Mathematical Society 1989 ( ISBN 0821824600 )
- Schwartz, Niels; Madden, James J. Anillos de función semi-algebraica y reflectores de anillos parcialmente ordenados. Lecture Notes in Mathematics, 1712. Springer-Verlag, Berlín, 1999
- Schwartz, Niels. Anillos cerrados reales. Álgebra y orden (Luminy-Marseille, 1984), 175-194, Res. Exp. Math., 14, Heldermann, Berlín, 1986
- Schwartz, Niels. Anillos de funciones continuas como anillos cerrados reales. Estructuras algebraicas ordenadas (Curaçao, 1995), 277–313, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.
- Tressl, Marcus. Anillos cerrados super reales. Fundamenta Mathematicae 194 (2007), no. 2, 121-177.