En física , la red recíproca representa la transformada de Fourier de otra red (normalmente una red de Bravais ). En el uso normal, la celosía inicial (cuya transformación está representada por la celosía recíproca) suele ser una función espacial periódica en el espacio real y también se conoce como celosía directa . Si bien la celosía directa existe en el espacio real y es lo que uno entendería comúnmente como una celosía física, la celosía recíproca existe en el espacio recíproco (también conocido como espacio de impulso o menos comúnmente como espacio K , debido a la relación entre los duales de Pontryaginimpulso y posición). El retículo recíproco de un retículo recíproco es equivalente al retículo directo original, porque las ecuaciones definitorias son simétricas con respecto a los vectores en el espacio real y recíproco. Matemáticamente, los vectores reticulares directos y recíprocos representan vectores covariantes y contravariantes , respectivamente.
La red recíproca juega un papel fundamental en la mayoría de los estudios analíticos de estructuras periódicas, particularmente en la teoría de la difracción . En la difracción de neutrones y rayos X , debido a las condiciones de Laue , la diferencia de momento entre los rayos X entrantes y difractados de un cristal es un vector reticular recíproco. El patrón de difracción de un cristal se puede utilizar para determinar los vectores recíprocos de la red. Usando este proceso, se puede inferir la disposición atómica de un cristal.
La zona de Brillouin es una celda de Wigner-Seitz de la red recíproca.
Descripción basada en ondas
Espacio recíproco
El espacio recíproco (también llamado k- espacio ) proporciona una forma de visualizar los resultados de la transformada de Fourier de una función espacial. Tiene un papel similar al dominio de la frecuencia que surge de la transformada de Fourier de una función dependiente del tiempo. El dominio de la función espacial en sí se denomina a menudo espacio real . En aplicaciones físicas, como la cristalografía, tanto el espacio real como el recíproco suelen ser bidimensionales o tridimensionales. Mientras que estas dimensiones espaciales serán las mismas, los espacios diferirán en sus unidades, de modo que cuando el espacio real tenga unidades de longitud L , su espacio recíproco tendrá unidades correspondientes de uno dividido por la longitud L −1 (el recíproco de longitud) .
El espacio recíproco entra en juego con respecto a las ondas, tanto clásicas como mecánicas cuánticas. Debido a que una onda plana sinusoidal con amplitud unitaria se puede escribir como un término oscilatorio, con fase inicial , número de onda angular y frecuencia angular , se puede considerar en función de ambos y (y la parte variable en el tiempo en función de ambos y ). Este papel complementario de y conduce a su visualización dentro de espacios complementarios. La periodicidad espacial de esta onda se define por su longitud de onda, donde; por lo tanto, el número de onda correspondiente en el espacio recíproco será.
En tres dimensiones, el término de onda plana correspondiente se convierte en , que simplifica a a una hora fija , donde es el vector de posición de un punto en el espacio real y ahora es el vector de onda en el espacio recíproco tridimensional. El constantees la fase del frente de onda (plano de fase constante) a través del origen en el tiempo, yes un vector unitario perpendicular a este frente de onda. Los frentes de onda con fase comprenden un conjunto de planos paralelos, igualmente espaciados por la longitud de onda .
Celosía recíproca
En general, una celosía geométrica consiste en una matriz regular infinita de vértices en el espacio, que se puede modelar vectorialmente como una celosía de Bravais . Algunas celosías pueden estar sesgadas, lo que significa que sus líneas primarias pueden no estar necesariamente en ángulos rectos. Una red recíproca es el conjunto periódico de los vectores de onda. en el espacio recíproco que componen la serie de Fourier de cualquier funcióncuya periodicidad es compatible con la de un entramado directo inicial en el espacio real. De manera equivalente, un vector de onda es un vértice del retículo recíproco si corresponde a una onda plana en el espacio real cuya fase en cualquier momento dado es la misma en todos los vértices del retículo directo.
Un enfoque heurístico para construir el retículo recíproco en tres dimensiones es escribir el vector de posición de un vértice del retículo directo como , donde el son enteros que definen el vértice y el son vectores primitivos linealmente independientes característicos de la red. Entonces hay una onda plana única (hasta un factor de uno negativo), cuyo frente de onda a través del origen contiene los puntos reticulares directos en y , y con su frente de onda adyacente atravesando. Su vector de onda angular toma la forma, donde es el vector unitario perpendicular a estos dos frentes de onda y la longitud de onda debe satisfacer . Por lo tanto, por construcción y .
Al recorrer los índices uno a uno, el mismo método produce tres vectores de onda con , donde el delta de Kronecker es igual a uno cuando y es cero en caso contrario. La comprenden un conjunto de tres vectores de onda primitivos para el retículo recíproco, cada uno de cuyos vértices toma la forma , donde elson enteros. El álgebra simple muestra que, para cualquier onda plana con vector de onda en la red recíproca, el cambio de fase total entre el origen y cualquier punto en la red directa es un múltiplo (posiblemente cero) de , por lo que la fase será de hecho igual para cada vértice de celosía directa, de conformidad con la definición de celosía recíproca anterior. (Aunque cualquier vector de onda en el retículo recíproco siempre toma esta forma, esta derivación es motivacional, más que rigurosa, porque ha omitido la prueba de que no existen otras posibilidades.)
La zona de Brillouin es una celda primitiva (más específicamente una celda de Wigner-Seitz ) de la red recíproca, que juega un papel importante en la física del estado sólido debido al teorema de Bloch . En matemáticas puras, el espacio dual de formas lineales y el retículo dual proporcionan generalizaciones más abstractas del espacio recíproco y el retículo recíproco.
Descripción matemática
Suponiendo una celosía de Bravais bidimensional y etiquetando cada vector de celosía por el subíndice
- dónde .
Tomando una función dónde es un vector desde el origen a cualquier posición, si sigue la periodicidad de la red, por ejemplo, la densidad electrónica en un cristal atómico, es útil escribir como una serie de Fourier multidimensional
donde ahora el subíndice entonces esta es una suma doble.
Como sigue la periodicidad de la celosía, traduciendo por cualquier vector de celosía obtenemos el mismo valor, por lo tanto
Expresando lo anterior en su lugar en términos de su serie de Fourier, tenemos
Dado que la igualdad de dos series de Fourier implica la igualdad de sus coeficientes, , que solo se mantiene cuando
- dónde
Este criterio restringe los valores de a los vectores que satisfacen esta relación. Matemáticamente, el retículo recíproco es el conjunto de todos los vectores. que satisfacen la identidad anterior para todos los vectores de posición del punto de celosía . Como tal, cualquier función que exhiba la misma periodicidad de la red se puede expresar como una serie de Fourier con frecuencias angulares tomadas de la red recíproca.
Este enrejado recíproco es en sí mismo un enrejado de Bravais, y el recíproco del enrejado recíproco es el enrejado original, que revela la dualidad Pontryagin de sus respectivos espacios vectoriales.
Dos dimensiones
Para una red bidimensional infinita, definida por sus vectores primitivos , su red recíproca se puede determinar generando sus dos vectores primitivos recíprocos, a través de las siguientes fórmulas,
Dónde,
Aquí representa un 90 grado matriz de rotación , es decir, una q TRIMESTRE turno. La rotación en sentido antihorario y la rotación en el sentido de las agujas del reloj se pueden utilizar para determinar la celosía recíproca: Si es la rotación en sentido antihorario y es la rotación en el sentido de las agujas del reloj, para todos los vectores . Por lo tanto, usando la permutación
obtenemos
Tres dimensiones
Para una red tridimensional infinita, definida por sus vectores primitivos , su red recíproca se puede determinar generando sus tres vectores primitivos recíprocos, a través de las fórmulas
donde el subíndice en tres dimensiones, y para el producto triple escalar :
Usando la representación de vector de columna de vectores primitivos (recíprocos), las fórmulas anteriores se pueden reescribir usando la inversión de matriz :
Este método apela a la definición y permite la generalización a dimensiones arbitrarias. La fórmula de productos cruzados domina los materiales introductorios en cristalografía.
La definición anterior se denomina definición de "física", ya que el factor de proviene naturalmente del estudio de las estructuras periódicas. Una definición equivalente, la definición del "cristalógrafo", proviene de definir la red recíproca como que cambia las definiciones de los vectores reticulares recíprocos para ser
y así sucesivamente para los otros vectores. La definición del cristalógrafo tiene la ventaja de que la definición de es solo la magnitud recíproca de en la dirección de , eliminando el factor de . Esto puede simplificar ciertas manipulaciones matemáticas y expresa dimensiones de celosía recíprocas en unidades de frecuencia espacial . Es una cuestión de gusto qué definición de celosía se utilice, siempre que no se mezclen las dos.
Cada punto en la celosía recíproca corresponde a un conjunto de planos de celosía en la celosía del espacio real . La dirección del vector reticular recíproco corresponde a la normal a los planos espaciales reales. La magnitud del vector reticular recíproco se da en longitud recíproca y es igual al recíproco del espaciado interplanar de los planos espaciales reales.
dimensiones
La fórmula para las dimensiones se pueden derivar asumiendo un -espacio vectorial real dimensional con una base y un producto interior . Los vectores de celosía recíprocos están determinados únicamente por la fórmula. Usando la permutación
se pueden determinar con la siguiente fórmula:
Aquí, es la forma de volumen , es la inversa del isomorfismo del espacio vectorial definido por y denota la multiplicación interna .
Se puede verificar que esta fórmula es equivalente a las fórmulas conocidas para el caso bidimensional y tridimensional utilizando los siguientes hechos: En tres dimensiones, y en dos dimensiones, , dónde es la rotación en 90 grados (al igual que la forma de volumen, el ángulo asignado a una rotación depende de la elección de la orientación [1] ).
Celosías recíprocas de varios cristales.
Las celosías recíprocas para el sistema de cristal cúbico son las siguientes.
Celosía cúbica simple
La celosía de Bravais cúbica simple , con celda primitiva cúbica de lado, tiene por su recíproco una celosía cúbica simple con una celda primitiva cúbica de lado (en la definición del cristalógrafo). Por lo tanto, se dice que la celosía cúbica es auto-dual, y tiene la misma simetría en el espacio recíproco que en el espacio real.
Celosía cúbica centrada en la cara (FCC)
La celosía recíproca a una celosía FCC es la celosía cúbica centrada en el cuerpo (BCC), con un lado del cubo de .
Considere una celda unitaria compuesta de FCC. Localice una celda unitaria primitiva de la FCC; es decir, una celda unitaria con un punto de celosía. Ahora tome uno de los vértices de la celda unitaria primitiva como origen. Da los vectores base de la celosía real. Luego, a partir de las fórmulas conocidas, puede calcular los vectores base de la red recíproca. Estos vectores reticulares recíprocos de la FCC representan los vectores básicos de una rejilla real BCC. Tenga en cuenta que los vectores básicos de una red BCC real y la red recíproca de una FCC se parecen entre sí en dirección pero no en magnitud.
Celosía cúbica centrada en el cuerpo (BCC)
La celosía recíproca a una celosía BCC es la celosía FCC , con un lado de cubo de.
Se puede probar fácilmente que solo las celosías Bravais que tienen 90 grados entre (cúbicos, tetragonales, ortorrómbicos) tienen paralelos a sus vectores en el espacio real.
Celosía hexagonal simple
El recíproco a una celosía de Bravais hexagonal simple con constantes de celosía cy a es otra celosía hexagonal simple con constantes de celosía y girado 30 ° alrededor del eje c con respecto al enrejado directo. Por lo tanto, se dice que la celosía hexagonal simple es auto-dual, y tiene la misma simetría en el espacio recíproco que en el espacio real. vectores a 1 = (a (3) 1/2 / 2) i + (a / 2) j; a 2 = - (a (3) 1/2 / 2) i + (a / 2) j ve a 3 = ak
Colección arbitraria de átomos
Un camino hacia la red recíproca de una colección arbitraria de átomos proviene de la idea de ondas dispersas en el límite de Fraunhofer (larga distancia o plano focal posterior de la lente) como una suma de amplitudes al estilo Huygens de todos los puntos de dispersión (en este caso de cada átomo individual). [2] Esta suma se denota por la amplitud compleja F en la siguiente ecuación, porque también es la transformada de Fourier (en función de la frecuencia espacial o la distancia recíproca) de un potencial de dispersión efectivo en el espacio directo:
Aquí g = q / (2π) es el vector de dispersión q en unidades de cristalógrafo, N es el número de átomos, f j [ g ] es el factor de dispersión atómico para el átomo j y el vector de dispersión g , mientras que r j es la posición del vector de átomo j. Tenga en cuenta que la fase de Fourier depende de la elección del origen de coordenadas.
Para el caso especial de un cristal periódico infinito, la amplitud dispersa F = MF hkl de M celdas unitarias (como en los casos anteriores) resulta ser distinta de cero solo para valores enteros de, dónde
cuando hay j = 1, m átomos dentro de la celda unitaria cuyos índices de celosía fraccionaria son respectivamente {u j , v j , w j }. Para considerar los efectos debidos al tamaño de cristal finito, por supuesto, se debe usar una convolución de forma para cada punto o la ecuación anterior para una red finita.
Ya sea que la matriz de átomos sea finita o infinita, también se puede imaginar una "red recíproca de intensidad" I [ g ], que se relaciona con la red de amplitud F a través de la relación habitual I = F * F donde F * es el complejo conjugado de F Dado que la transformación de Fourier es reversible, por supuesto, este acto de conversión en intensidad arroja "toda la información excepto el segundo momento" (es decir, la fase). Para el caso de una colección arbitraria de átomos, la red recíproca de intensidad es por lo tanto:
Aquí r jk es la separación vectorial entre el átomo j y el átomo k. También se puede usar esto para predecir el efecto de la forma del nanocristalito y los cambios sutiles en la orientación del haz en los picos de difracción detectados, incluso si en algunas direcciones el grupo tiene solo un átomo de espesor. En el lado negativo, los cálculos de dispersión que utilizan la red recíproca consideran básicamente una onda plana incidente. Por lo tanto, después de un primer vistazo a los efectos de la red recíproca (dispersión cinemática), también puede ser importante considerar los efectos de ensanchamiento del haz y de dispersión múltiple (es decir, dinámicos ).
Generalización de una celosía dual
En realidad, hay dos versiones en matemáticas del concepto abstracto de red dual , para una red L dada en un espacio vectorial real V , de dimensión finita .
El primero, que generaliza directamente la construcción de celosía recíproca, utiliza el análisis de Fourier . Puede expresarse simplemente en términos de la dualidad de Pontryagin . El grupo dual V ^ a V es nuevamente un espacio vectorial real, y su subgrupo cerrado L ^ dual a L resulta ser una red en V ^. Por lo tanto, L ^ es el candidato natural para la red dual , en un espacio vectorial diferente (de la misma dimensión).
El otro aspecto se ve en presencia de una forma cuadrática Q en V ; si es no degenerada que permite una identificación del espacio dual V * de V con V . La relación de V * a V no es intrínseca; que depende de una selección de Haar medida (elemento de volumen) en V . Sin embargo, dada una identificación de los dos, que es en cualquier caso bien definido hasta un escalar , la presencia de Q permite hablar con el doble de celosía a L mientras que permanece dentro V .
En matemáticas , el doble de celosía de un dado de celosía L en un abeliano localmente compacto grupo topológico G es el subgrupo L * del grupo dual de G que consiste en todos los caracteres continuos que son igual a uno en cada punto de L .
En matemáticas discretas, una red es un conjunto localmente discreto de puntos descritos por todas las combinaciones lineales integrales de dim = n vectores linealmente independientes en R n . El enrejado dual se define entonces por todos los puntos en el tramo lineal del enrejado original (típicamente todo R ^ n) con la propiedad de que un número entero resulta del producto interno con todos los elementos del enrejado original. De ello se deduce que el dual del enrejado dual es el enrejado original.
Además, si permitimos que la matriz B tenga columnas como los vectores linealmente independientes que describen la red, entonces la matriz
tiene columnas de vectores que describen la red dual.
Ver también
- Cristalografía
- Base dual
- Esfera de Ewald
- Índice de Miller
- Difracción de polvo
- Línea Kikuchi
- Zona de Brillouin
- Eje de zona
Referencias
- ^ Audin, Michèle (2003). Geometría . Saltador. pag. 69.
- ^ BE Warren (1969/1990) Difracción de rayos X (Addison-Wesley, Reading MA / Dover, Mineola NY).
enlaces externos
- http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html - El simulador de difracción de electrones basado en Jmol le permite explorar la intersección entre la red recíproca y la esfera de Ewald durante la inclinación.
- Paquete de enseñanza y aprendizaje DoITPoMS sobre el espacio recíproco y el entramado recíproco
- Aprenda fácilmente la cristalografía y cómo la red recíproca explica el fenómeno de difracción, como se muestra en los capítulos 4 y 5.