En física , una onda plana sinusoidal (o monocromática ) es un caso especial de onda plana : un campo cuyo valor varía en función sinusoidal del tiempo y de la distancia desde algún plano fijo.
Para cualquier puesto en el espacio y en cualquier momento , el valor de dicho campo se puede escribir como
dónde es un vector de longitud unitaria , la dirección de propagación de la onda y ""denota el producto escalar de dos vectores. El parámetro, que puede ser un escalar o un vector, se llama amplitud de la onda; el coeficiente, un escalar positivo, su frecuencia espacial ; y el escalar adimensional, un ángulo en radianes, es su fase inicial o cambio de fase .
La cantidad escalar da el desplazamiento (firmado) del punto desde el plano que es perpendicular a y pasa por el origen del sistema de coordenadas. Esta cantidad es constante sobre cada plano perpendicular a.
En el momento , el campo varía con el desplazamiento como función sinusoidal
La frecuencia espacial es el número de ciclos completos por unidad de longitud a lo largo de la dirección . Por cualquier otro valor de, los valores del campo se desplazan por la distancia en la dirección . Es decir, todo el campo parece viajar en esa dirección con velocidad..
Por cada desplazamiento , el plano en movimiento perpendicular a a distancia desde el origen se llama frente de onda . Este avión se encuentra a distancia desde el origen cuando , y viaja en la dirección también con velocidad ; y el valor del campo es entonces el mismo, y constante en el tiempo, en cada uno de sus puntos.
Una onda plana sinusoidal podría ser un modelo adecuado para una onda de sonido dentro de un volumen de aire que es pequeño en comparación con la distancia de la fuente (siempre que no haya ecos de casi objetos). En ese caso,sería un campo escalar, la desviación de la presión del aire en el punto y tiempo , lejos de su nivel normal.
En cualquier punto fijo , el campo también variará sinusoidalmente con el tiempo; será un múltiplo escalar de la amplitud, Entre y
Cuando la amplitud es un vector ortogonal a , se dice que la onda es transversal . Tales ondas pueden exhibir polarización , sise puede orientar a lo largo de dos direcciones no colineales . Cuándo es un vector colineal con , se dice que la onda es longitudinal . Estas dos posibilidades son ejemplificadas por las ondas S (cortantes) y las ondas P (presión) estudiadas en sismología .
La fórmula anterior da una descripción puramente "cinemática" de la onda, sin referencia a cualquier proceso físico que pueda estar causando su movimiento. En una onda mecánica o electromagnética que se propaga a través de un medio isotrópico , el vectorde la propagación aparente de la onda es también la dirección en la que realmente fluye la energía o el momento. Sin embargo, las dos direcciones pueden ser diferentes en un medio anisotrópico . [1]
Representaciones alternativas
La misma onda plana sinusoidal arriba también se puede expresar en términos de seno en lugar de coseno usando la identidad elemental
dónde . Por tanto, el valor y el significado del cambio de fase depende de si la onda se define en términos de seno o co-seno.
Sumando cualquier múltiplo entero de a la fase inicial no tiene ningún efecto en el campo. Sumando un múltiplo impar de tiene el mismo efecto que negar la amplitud . Asignar un valor negativo para la frecuencia espacial tiene el efecto de invertir el sentido de propagación, con un adecuado ajuste de la fase inicial.
La fórmula de una onda plana sinusoidal se puede escribir de varias otras formas:
- Aquí es la longitud de onda , la distancia entre dos frentes de onda donde el campo es igual a la amplitud ; y es el período de variación del campo en el tiempo, visto en cualquier punto fijo del espacio. Es recíproco es la frecuencia temporal de la onda medida en ciclos completos por unidad de tiempo.
- Aquí es un parámetro llamado número de onda angular (medido en radianes por unidad de longitud), y es la frecuencia angular de la variación en un punto fijo (en radianes por unidad de tiempo).
- dónde es el vector de frecuencia espacial o vector de onda , un vector tridimensional dónde es el número de ciclos completos que ocurren por unidad de longitud, en cualquier momento fijo, a lo largo de cualquier línea recta paralela al eje de coordenadas .
Forma exponencial compleja
Una onda plana sinusoidal también se puede expresar en términos de la función exponencial compleja
dónde es la base de la función exponencial natural , yes la unidad imaginaria , definida por la ecuación. Con esas herramientas, se define la onda plana exponencial compleja como
dónde son los definidos para la onda plana sinusoidal (real). Esta ecuación da un campocuyo valor es un número complejo , o un vector con coordenadas complejas. Para obtener el
Para apreciar la relación de esta ecuación con las anteriores, a continuación se muestra esta misma ecuación expresada usando senos y cosenos. Observe que el primer término es igual a la forma real de la onda plana que acabamos de comentar.
La forma compleja introducida de la onda plana se puede simplificar utilizando una amplitud de valor complejo sustituir la amplitud valorada real .
Específicamente, dado que la forma compleja
uno puede absorber el factor de fase en una amplitud compleja dejando, resultando en la ecuación más compacta
Si bien la forma compleja tiene un componente imaginario, después de realizar los cálculos necesarios en el plano complejo, se puede extraer su valor real dando una ecuación de valor real que representa una onda plana real.
La razón principal por la que uno elegiría trabajar con formas exponenciales complejas de ondas planas es que las exponenciales complejas son a menudo algebraicamente más fáciles de manejar que los senos y cosenos trigonométricos. Específicamente, las reglas de suma de ángulos son extremadamente simples para exponenciales.
Además, cuando se utilizan técnicas de análisis de Fourier para ondas en un medio con pérdidas , la atenuación resultante es más fácil de tratar utilizando coeficientes de Fourier complejos . Si una onda viaja a través de un medio con pérdidas, la amplitud de la onda ya no es constante y, por lo tanto, la onda estrictamente hablando ya no es una verdadera onda plana.
En mecánica cuántica, las soluciones de la ecuación de onda de Schrödinger son, por su propia naturaleza, de valor complejo y, en el caso más simple, adoptan una forma idéntica a la representación de onda plana compleja anterior. Sin embargo, el componente imaginario en ese caso no se ha introducido con el propósito de la conveniencia matemática, sino que de hecho es una parte inherente de la "ola".
En la relatividad especial , se puede utilizar una expresión aún más compacta mediante el uso de cuatro vectores .
- El de cuatro posiciones
- El vector de cuatro ondas
- El producto escalar
Por lo tanto,
se convierte en
Aplicaciones
Las ecuaciones que describen la radiación electromagnética en un medio dieléctrico homogéneo admiten como soluciones especiales que son ondas planas sinusoidales. En electromagnetismo , el campoes típicamente el campo eléctrico , campo magnético o potencial vectorial , que en un medio isotrópico es perpendicular a la dirección de propagación. La amplitudes entonces un vector de la misma naturaleza, igual al campo de fuerza máxima. La velocidad de propagación será la velocidad de la luz en el medio.
Las ecuaciones que describen vibraciones en un sólido elástico homogéneo también admiten soluciones que son ondas planas sinusoidales, tanto transversales como longitudinales. Estos dos tipos tienen diferentes velocidades de propagación, que dependen de la densidad y los parámetros de Lamé del medio.
El hecho de que el medio imponga una velocidad de propagación significa que los parámetros y debe satisfacer una relación de dispersión característica del medio. La relación de dispersión se expresa a menudo como una función,. El radioda la magnitud de la velocidad de fase y la derivadada la velocidad del grupo . Para electromagnetismo en un medio isotrópico con índice de refracción, la velocidad de fase es , que es igual a la velocidad del grupo si el índice no depende de la frecuencia.
En medios lineales uniformes, una solución general a la ecuación de onda se puede expresar como una superposición de ondas planas sinusoidales. Este enfoque se conoce como método del espectro angular . La forma de la solución de onda plana es en realidad una consecuencia general de la simetría de traslación . De manera más general, para las estructuras periódicas que tienen simetría de traslación discreta, las soluciones toman la forma de ondas de Bloch , sobre todo en materiales atómicos cristalinos , pero también en cristales fotónicos y otras ecuaciones de ondas periódicas. Como otra generalización, para estructuras que solo son uniformes a lo largo de una dirección x (como una guía de ondas a lo largo de la dirección x ), las soluciones (modos de guía de ondas) tienen la forma exp [ i ( kx - ωt )] multiplicada por alguna función de amplitud a ( y , z ). Este es un caso especial de una ecuación diferencial parcial separable .
Ondas planas electromagnéticas polarizadas
Representado en la primera ilustración hacia la derecha es un polarizada linealmente , onda electromagnética . Debido a que se trata de una onda plana, cada vector azul , que indica el desplazamiento perpendicular desde un punto del eje hacia la onda sinusoidal, representa la magnitud y la dirección del campo eléctrico para un plano completo que es perpendicular al eje.
En la segunda ilustración se representa una onda plana electromagnética polarizada circularmente . Cada vector azul que indica el desplazamiento perpendicular desde un punto en el eje hacia la hélice, también representa la magnitud y dirección del campo eléctrico para un plano completo perpendicular al eje.
En ambas ilustraciones, a lo largo de los ejes hay una serie de vectores azules más cortos que son versiones reducidas de los vectores azules más largos. Estos vectores azules más cortos se extrapolan al bloque de vectores negros que llenan un volumen de espacio. Observe que para un plano dado, los vectores negros son idénticos, lo que indica que la magnitud y la dirección del campo eléctrico es constante a lo largo de ese plano.
En el caso de la luz polarizada linealmente, la intensidad de campo de un plano a otro varía desde un máximo en una dirección, hasta cero, y luego vuelve a subir hasta un máximo en la dirección opuesta.
En el caso de la luz polarizada circularmente, la intensidad del campo permanece constante de un plano a otro, pero su dirección cambia constantemente de forma rotatoria.
No se indica en ninguna de las ilustraciones el campo magnético correspondiente del campo eléctrico, que es proporcional en fuerza al campo eléctrico en cada punto del espacio, pero que forma un ángulo recto con él. Las ilustraciones de los vectores de campo magnético serían virtualmente idénticas a estas, excepto que todos los vectores rotarían 90 grados alrededor del eje de propagación de modo que fueran perpendiculares tanto a la dirección de propagación como al vector de campo eléctrico.
La relación de las amplitudes de los componentes del campo eléctrico y magnético de una onda plana en el espacio libre se conoce como impedancia de onda en el espacio libre , igual a 376,730313 ohmios.
Ver también
- Método de espectro angular
- Haz colimado
- Ondas planas en el vacío
- Expansión de onda plana
- Propagación rectilínea
- Ecuación de onda
Referencias
- ^ Esta sección de Wikipedia tiene referencias. Vector de onda # Dirección del vector de onda
- JD Jackson, Electrodinámica clásica (Wiley: Nueva York, 1998).
- LM Brekhovskikh, "Waves in Layered Media, Serie: Matemáticas y Mecánica Aplicadas, Vol. 16, (Academic Press, 1980).