Relación de recurrencia
En matemáticas , una relación de recurrencia es una ecuación que expresa el n -ésimo término de una sucesión en función de los k términos precedentes, para algún k fijo (independiente de n ), lo que se denomina el orden de la relación. Una vez dados los k términos iniciales de una sucesión, la relación de recurrencia permite calcular recursivamente todos los términos de la sucesión.
La mayoría de los resultados generales sobre relaciones de recurrencia se refieren a recurrencias lineales , que son relaciones de recurrencia tales que el término n es lineal con respecto a sus términos precedentes. Entre ellos, las recurrencias lineales con coeficientes constantes y las recurrencias lineales con coeficientes polinómicos son especialmente importantes. En el primer caso, esto se debe a que se puede expresar el término general de la sucesión como una expresión de forma cerrada del índice del término. En el segundo caso, esto se debe a que muchas funciones elementales y especiales comunes tienen una serie de Taylor cuyos coeficientes satisfacen dicha relación de recurrencia (verfunción holonómica ).
El concepto se puede extender a matrices multidimensionales , es decir, familias indexadas que están indexadas por tuplas de números naturales .
Una relación de recurrencia es una ecuación que expresa cada elemento de una sucesión en función de los anteriores. Más precisamente, en el caso en que sólo está involucrado el elemento inmediatamente anterior, una relación de recurrencia tiene la forma
es una función, donde X es un conjunto al que deben pertenecer los elementos de una sucesión. Para any , esto define una secuencia única con su primer elemento, llamado valor inicial . [1]
Es fácil modificar la definición para obtener secuencias a partir del término de índice 1 o superior.