La longitud de onda de Compton es una propiedad de la mecánica cuántica de una partícula . La longitud de onda de Compton de una partícula es igual a la longitud de onda de un fotón cuya energía es la misma que la masa de esa partícula (ver equivalencia masa-energía ). Fue introducido por Arthur Compton en su explicación de la dispersión de fotones por electrones (un proceso conocido como dispersión de Compton ).
La longitud de onda estándar de Compton, λ , de una partícula viene dada por,
mientras que su frecuencia viene dada por,
donde h es la constante de Planck , m es la masa en reposo de la partícula y c es la velocidad de la luz . El significado de esta fórmula se muestra en la derivación de la fórmula de desplazamiento de Compton .
El valor CODATA 2018 para la longitud de onda Compton del electrón es2.426 310 238 67 (73) × 10 -12 m . [1] Otras partículas tienen diferentes longitudes de onda de Compton.
Longitud de onda de Compton reducida
Cuando la longitud de onda de Compton se divide por 2 π , se obtiene la longitud de onda de Compton "reducida" ƛ ( lambda barrada ), es decir, la longitud de onda de Compton para 1 radianes en lugar de 2 π radianes:
- ƛ = λ/2 π = ħ/mc,
donde ħ es la constante de Planck "reducida" .
Papel en las ecuaciones para partículas masivas
La longitud de onda de Compton reducida inversa es una representación natural de la masa en la escala cuántica y, como tal, aparece en muchas de las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica. La longitud de onda de Compton reducida aparece en la ecuación relativista de Klein-Gordon para una partícula libre:
Aparece en la ecuación de Dirac (la siguiente es una forma explícitamente covariante que emplea la convención de suma de Einstein ):
La longitud de onda de Compton reducida también aparece en la ecuación de Schrödinger , aunque su presencia se ve oscurecida en las representaciones tradicionales de la ecuación. La siguiente es la representación tradicional de la ecuación de Schrödinger para un electrón en un átomo similar al hidrógeno :
Dividiendo por , y reescribiendo en términos de la constante de estructura fina , se obtiene:
Distinción entre reducido y no reducido
La longitud de onda reducida de Compton es una representación natural de la masa en la escala cuántica. Las ecuaciones que pertenecen a la masa inercial como las de Klein-Gordon y Schrödinger, usan la longitud de onda reducida de Compton. [2] : 18-22 La longitud de onda de Compton no reducida es una representación natural de la masa que se ha convertido en energía. Las ecuaciones que pertenecen a la conversión de masa en energía, o a las longitudes de onda de los fotones que interactúan con la masa, utilizan la longitud de onda de Compton no reducida.
Una partícula de masa m tiene una energía en reposo de E = mc 2 . La longitud de onda de Compton no reducida para esta partícula es la longitud de onda de un fotón de la misma energía. Para fotones de frecuencia f , la energía viene dada por
que produce la fórmula de longitud de onda de Compton estándar o no reducida si se resuelve para λ .
Limitación de la medición
La longitud de onda de Compton expresa una limitación fundamental en la medición de la posición de una partícula, teniendo en cuenta la mecánica cuántica y la relatividad especial . [3]
Esta limitación depende de la masa m de la partícula. Para ver cómo, tenga en cuenta que podemos medir la posición de una partícula haciendo rebotar la luz en ella, pero medir la posición con precisión requiere luz de longitud de onda corta. La luz con una longitud de onda corta está formada por fotones de alta energía. Si la energía de estos fotones excede mc 2 , cuando uno golpea la partícula cuya posición se está midiendo, la colisión puede producir suficiente energía para crear una nueva partícula del mismo tipo. [ cita requerida ] Esto hace discutible la cuestión de la ubicación de la partícula original.
Este argumento también muestra que la longitud de onda de Compton reducida es el límite por debajo del cual la teoría cuántica de campos , que puede describir la creación y aniquilación de partículas, se vuelve importante. El argumento anterior se puede hacer un poco más preciso de la siguiente manera. Supongamos que deseamos medir la posición de una partícula con una precisión Δ x . Entonces, la relación de incertidumbre para la posición y el momento dice que
por lo que la incertidumbre en el momento de la partícula satisface
Usando la relación relativista entre el momento y la energía E 2 = ( pc ) 2 + ( mc 2 ) 2 , cuando Δ p excede mc entonces la incertidumbre en energía es mayor que mc 2 , que es energía suficiente para crear otra partícula del mismo tipo . Pero debemos excluir esto. En particular, la incertidumbre mínima es cuando el fotón disperso tiene una energía límite igual a la energía de observación incidente. De ello se deduce que existe un mínimo fundamental para Δ x :
Por tanto, la incertidumbre en la posición debe ser mayor que la mitad de la longitud de onda reducida de Compton ħ / mc .
La longitud de onda de Compton se puede contrastar con la longitud de onda de De Broglie , que depende del momento de una partícula y determina el límite entre el comportamiento de las partículas y de las ondas en la mecánica cuántica . En particular, la derivación de De Broglie de la longitud de onda de De Broglie se basa en el supuesto de que una partícula observada está asociada con un fenómeno periódico de la frecuencia de Compton de la partícula.
Relación con otras constantes
Las longitudes atómicas típicas, los números de onda y las áreas en física se pueden relacionar con la longitud de onda de Compton reducida para el electrón () y la constante de estructura fina electromagnética () .
El radio de Bohr está relacionado con la longitud de onda de Compton por:
El radio clásico del electrón es aproximadamente 3 veces mayor que el radio del protón y se escribe:
La constante de Rydberg , que tiene dimensiones de número de onda lineal , se escribe:
Esto produce la secuencia:
- .
Para los fermiones , la longitud de onda de Compton reducida establece la sección transversal de interacciones. Por ejemplo, la sección transversal para la dispersión de Thomson de un fotón a partir de un electrón es igual a [ aclaración necesaria ]
que es aproximadamente el mismo que el área de la sección transversal de un núcleo de hierro-56. Para los bosones gauge , la longitud de onda de Compton establece el rango efectivo de la interacción Yukawa : dado que el fotón no tiene masa, el electromagnetismo tiene un rango infinito.
La masa de Planck es el orden de masa para el cual la longitud de onda de Compton y el radio de Schwarzschild son iguales, cuando su valor se acerca a la longitud de Planck (). El radio de Schwarzschild es proporcional a la masa, mientras que la longitud de onda de Compton es proporcional a la inversa de la masa. La masa y la longitud de Planck se definen por:
Referencias
- ^ Valor de CODATA 2018 para la longitud de onda de Compton para el electrón del NIST
- ^ Greiner, W. , Mecánica cuántica relativista: ecuaciones de onda ( Berlín / Heidelberg : Springer , 1990), págs. 18-22 .
- ^ Garay, Luis J. (1995). "Gravedad cuántica y longitud mínima". International Journal of Modern Physics A . 10 (2): 145–65. arXiv : gr-qc / 9403008 . Código bibliográfico : 1995IJMPA..10..145G . doi : 10.1142 / S0217751X95000085 .
enlaces externos
- Escalas de longitud en física: la longitud de onda de Compton
- BG Sidharth, escala de Planck a escala de Compton , Instituto Internacional de Matemáticas Aplicables, Hyderabad (India) y Udine (Italia), agosto de 2006.