En teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , y en álgebra , el producto reducido es una construcción que generaliza tanto el producto directo como el ultraproducto .
Sea { S yo | i ∈ I } sea una familia de estructuras de la misma signatura σ indexada por un conjunto I , y sea U un filtro sobre I . El dominio del producto reducido es el cociente del producto cartesiano
por una cierta relación de equivalencia ~: dos elementos ( a i ) y ( b i ) del producto cartesiano son equivalentes si
Si U solo contiene a I como elemento, la relación de equivalencia es trivial y el producto reducido es solo el producto cartesiano original. Si U es un ultrafiltro , el producto reducido es un ultraproducto.
Las operaciones a partir de σ se interpretan sobre el producto reducido aplicando la operación por puntos. Las relaciones son interpretadas por
Por ejemplo, si cada estructura es un espacio vectorial , entonces el producto reducido es un espacio vectorial con suma definida como ( a + b ) i = a i + b i y multiplicación por un escalar c como ( ca ) i = c a i .