Función de Schwinger

En la teoría cuántica de campos , las distribuciones de Wightman se pueden continuar analíticamente en funciones analíticas en el espacio euclidiano con el dominio restringido al conjunto ordenado de puntos en el espacio euclidiano sin puntos coincidentes. ^[1] Estas funciones se denominan funciones de Schwinger (nombradas en honor a Julian Schwinger ) y son real-analíticas, simétricas bajo la permutación de argumentos (antisimétricas para campos fermiónicos ), covariantes euclidianas y satisfacen una propiedad conocida como reflexión positiva . Las propiedades de las funciones de Schwinger se conocen como axiomas de Osterwalder-Schrader(nombrado en honor a Konrad Osterwalder y Robert Schrader ). ^{[2] Las} funciones de Schwinger también se conocen como funciones de correlación euclidianas .

Axiomas de Osterwalder-Schrader

Aquí describimos Osterwalder-Schrader (OS) axiomas de una teoría cuántica de campos euclidiana de un campo escalar Hermitean , . Tenga en cuenta que una teoría de campo cuántica típica contendrá infinitos operadores locales, incluidos también operadores compuestos , y sus correlacionadores también deben satisfacer axiomas de OS similares a los que se describen a continuación. ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

Las funciones de Schwinger de se denotan como${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv \langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\ldots \phi (x_{n})\rangle ,\quad x_{k}\in \mathbb {R} ^{d}.}$

Los axiomas de OS de ^[2] están numerados (E0) - (E4) y tienen el siguiente significado:

• (E0) Templanza
• (E1) Covarianza euclidiana
• (E2) Positividad
• (E3) Simetría
• (E4) Propiedad del clúster

Temperamento

El axioma de temperamento (E0) dice que las funciones de Schwinger son distribuciones templadas alejadas de los puntos coincidentes. Esto significa que pueden integrarse frente a funciones de prueba de Schwartz que desaparecen con todas sus derivadas en configuraciones en las que coinciden dos o más puntos. Se puede demostrar a partir de este axioma y otros axiomas de OS (pero no la condición de crecimiento lineal) que las funciones de Schwinger son de hecho analíticas reales lejos de los puntos coincidentes.

Covarianza euclidiana

El axioma de covarianza euclidiana (E1) dice que las funciones de Schwinger se transforman covariantemente bajo rotaciones y traslaciones, a saber:

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=S_{n}(Rx_{1}+b,\ldots ,Rx_{n}+b)}$

para una matriz de rotación arbitraria y un vector de traslación arbitrario . Los axiomas de OS se pueden formular para funciones de Schwinger de campos que se transforman en representaciones arbitrarias del grupo de rotación. ^{[2] [3]}${\displaystyle R\in SO(d)}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{d}}$

Simetría

El axioma de simetría (E3) dice que las funciones de Schwinger son invariantes bajo permutaciones de puntos:

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=S_{n}(x_{\pi (1)},\ldots ,x_{\pi (n)})}$,

donde es una permutación arbitraria de . Las funciones de Schwinger de los campos fermiónicos son, en cambio, antisimétricas; para ellos esta ecuación tendría un signo ± igual a la firma de la permutación.${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

Propiedad de clúster

La propiedad de clúster (E4) dice que la función de Schwinger se reduce al producto si dos grupos de puntos están separados entre sí por una gran traslación constante:${\displaystyle S_{p+q}}$${\displaystyle S_{p}S_{q}}$

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }S_{p+q}(x_{1},\ldots ,x_{p},x_{p+1}+b,\ldots ,x_{p+q}+b)=S_{p}(x_{1},\ldots ,x_{p})S_{q}(x_{p+1},\ldots ,x_{p+q})}$.

El límite se entiende en el sentido de distribuciones. También existe una suposición técnica de que los dos grupos de puntos se encuentran en dos lados del hiperplano, mientras que el vector es paralelo a él:${\displaystyle x^{0}=0}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle x_{1}^{0},\ldots ,x_{p}^{0}>0,\quad x_{p+1}^{0},\ldots ,x_{p+q}^{0}<0,\quad b^{0}=0.}$

Positividad de reflexión

Los axiomas de positividad (E2) afirman la siguiente propiedad llamada positividad de reflexión (Osterwalder-Schrader). Elija cualquier coordenada arbitraria τ y elija una función de prueba f _N con N puntos como argumentos. Supongamos f _N tiene su apoyo en el subconjunto "time-ordenado" de N puntos con 0 <τ ₁ <... <τ _N . Elija una de tales f _N para cada positivo N , con el f de ser cero para todos los N mayor que algún entero M . Dado un punto , sea ​​el punto reflejado sobre el hiperplano τ = 0${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\theta }}$. Luego,

${\displaystyle \sum _{m,n}\int d^{d}x_{1}\cdots d^{d}x_{m}\,d^{d}y_{1}\cdots d^{d}y_{n}S_{m+n}(x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n})f_{m}(x_{1}^{\theta },\dots ,x_{m}^{\theta })^{*}f_{n}(y_{1},\dots ,y_{n})\geq 0}$

donde * representa la conjugación compleja .

A veces, en la literatura de física teórica, la positividad de la reflexión se establece como el requisito de que la función de Schwinger de orden par arbitrario no sea negativa si los puntos se insertan simétricamente con respecto al hiperplano:${\displaystyle \tau =0}$

${\displaystyle S_{2n}(x_{1},\dots ,x_{n},x_{n}^{\theta },\dots ,x_{1}^{\theta })\geq 0}$.

De hecho, esta propiedad se deriva de la positividad de la reflexión, pero es más débil que la positividad de la reflexión completa.

Comprensión intuitiva

Una forma de construir (formalmente) funciones de Schwinger que satisfagan las propiedades anteriores es a través de la integral de trayectoria euclidiana . En particular, las integrales de trayectoria euclidiana (formalmente) satisfacen la positividad de la reflexión. Sea F cualquier polinomio funcional del campo φ que no depende del valor de φ ( x ) para aquellos puntos x cuyas coordenadas τ no son positivas. Luego

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi F[\phi (x)]F[\phi ({\bar {x}})]^{*}e^{-S[\phi ]}=\int {\mathcal {D}}\phi _{0}\int _{\phi _{+}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{+}F[\phi _{+}]e^{-S_{+}[\phi _{+}]}\int _{\phi _{-}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{-}F[{\bar {\phi }}_{-}]^{*}e^{-S_{-}[\phi _{-}]}.}$

Dado que la acción S es real y se puede dividir en S +, que solo depende de φ en el semiespacio positivo, y S , que solo depende de φ en el semiespacio negativo, y si S también es invariante bajo la acción combinada de tomar una reflexión y conjugar complejos todos los campos, entonces la cantidad anterior tiene que ser no negativa.

Teorema de Osterwalder-Schrader

El teorema de Osterwalder-Schrader ^[4] establece que las funciones de Schwinger euclidianas que satisfacen los axiomas anteriores (E0) - (E4) y una propiedad adicional (E0 ') llamada condición de crecimiento lineal pueden continuar analíticamente en las distribuciones de Wightman de Lorentzian que satisfacen los axiomas de Wightman y defina así una teoría cuántica de campos .

Condición de crecimiento lineal

Esta condición, llamada (E0 ') en, ^[4] afirma que cuando la función de orden de Schwinger se empareja con una función de prueba de Schwartz arbitraria que desaparece en puntos coincidentes, tenemos el siguiente límite:${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle |S_{n}(f)|\leq \sigma _{n}|f|_{C\cdot n},}$

donde es una constante entera, es la seminorma de orden en el espacio de Schwartz , es decir${\displaystyle C\in \mathbb {N} }$${\displaystyle |f|_{C\cdot n}}$${\displaystyle N=C\cdot n}$

${\displaystyle |f|_{N}=\sup _{|\alpha |\leq N,x\in \mathbb {R} ^{d}}|(1+|x|)^{N}D^{\alpha }f(x)|,}$

y una secuencia de constantes de crecimiento factorial , es decir, con algunas constantes .${\displaystyle \sigma _{n}}$${\displaystyle \sigma _{n}\leq A(n!)^{B}}$${\displaystyle A,B}$

La condición de crecimiento lineal es sutil, ya que debe cumplirse para todas las funciones de Schwinger simultáneamente. Tampoco se ha derivado de los axiomas de Wightman , por lo que el sistema de axiomas de OS (E0) - (E4) más la condición de crecimiento lineal (E0 ') parece ser más fuerte que los axiomas de Wightman .

Historia

Al principio, Osterwalder y Schrader ^[2] afirmaron un teorema más fuerte de que los axiomas (E0) - (E4) por sí mismos implican los axiomas de Wightman , sin embargo, su demostración contenía un error que no podía corregirse sin agregar supuestos adicionales. Dos años más tarde ^[4] publicaron un nuevo teorema, con la condición de crecimiento lineal agregada como suposición y una prueba correcta. La demostración en ^[4] se basa en un argumento inductivo complicado (propuesto también por Vladimir Glaser en ^[5]), por lo que la región de analiticidad de las funciones de Schwinger se extiende gradualmente hacia el espacio de Minkowski, y las distribuciones de Wightman se recuperan como límite. La condición de crecimiento lineal (E0 ') se usa de manera crucial para mostrar que el límite existe y es una distribución templada.

Árbitro. ^[4] también contiene otro teorema que reemplaza (E0 ') por otro supuesto llamado . Este otro teorema rara vez se usa, ya que es difícil de verificar en la práctica. Ver, por ejemplo, ^[3] para una revisión de estos hechos.${\displaystyle {\check {\text{(E0)}}}}$${\displaystyle {\check {\text{(E0)}}}}$

Otros axiomas para las funciones de Schwinger

Axiomas de Glimm y Jaffe

Glimm y Jaffe describen en su libro un enfoque alternativo para la axiomatización de los correlacionadores euclidianos. ^[6] En este enfoque se supone que se le da una medida en el espacio de distribuciones . Entonces se considera un generador funcional${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle \phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle S(f)=\int e^{\phi (f)}d\mu ,\quad f\in D(\mathbb {R} ^{d})}$

que se supone que satisface las propiedades OS0-OS4:

• (OS0) Analiticidad. Esto afirma que

${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto S\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}f_{i}\right)}$

es una función analítica completa de para cualquier colección de funciones de prueba con soporte compacto . Intuitivamente, esto significa que la medida decae más rápido que cualquier exponencial.${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle d\mu }$

• (OS1) Regularidad . Esto exige un crecimiento con destino en términos de , como . Consulte ^[6] para conocer la condición precisa.${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |S(f)|\leq \exp \left(C\int d^{d}x|f(x)|\right)}$
• (OS2) Invarianza euclidiana. Esto dice que lo funcional es invariante bajo las transformaciones euclidianas .${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle f(x)\mapsto f(Rx+b)}$
• (OS3) Reflexión positiva. Tome una secuencia finita de funciones de prueba que están todas admitidas en el semiespacio superior, es decir, en . Denote por donde es una operación de reflexión definida anteriormente. Este axioma dice que la matriz tiene que ser semidefinida positiva.${\displaystyle f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle x^{0}>0}$${\displaystyle \theta f_{i}(x)=f_{i}(\theta x)}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle M_{ij}=S(f_{i}+\theta f_{j})}$
• (OS4) Ergodicidad. El semigrupo de traducción de tiempo actúa ergódicamente sobre el espacio de medida . Consulte ^[6] para conocer la condición precisa.${\displaystyle (D'(\mathbb {R} ^{d}),d\mu )}$

Relación con los axiomas de Osterwalder-Schrader

Aunque los axiomas anteriores fueron nombrados por Glimm y Jaffe (OS0) - (OS4) en honor a Osterwalder y Schrader, no son equivalentes a los axiomas de Osterwalder-Schrader.

Dado (OS0) - (OS4), se pueden definir funciones de Schwinger de como momentos de la medida y demostrar que estos momentos satisfacen los axiomas de Osterwalder-Schrader (E0) - (E4) y también las condiciones de crecimiento lineal (E0 '). Entonces se puede apelar al teorema de Osterwalder-Schrader para mostrar que las funciones de Wightman son distribuciones templadas. Alternativamente, y mucho más fácil, uno puede derivar axiomas de Wightman directamente de (OS0) - (OS4). ^[6]${\displaystyle \phi }$${\displaystyle d\mu }$

Sin embargo, tenga en cuenta que la teoría cuántica completa del campo contendrá infinitos otros operadores locales además de , como , y otros operadores compuestos construidos a partir de y sus derivados. No es fácil extraer estas funciones de Schwinger de la medida y demostrar que satisfacen los axiomas del sistema operativo, como debería ser el caso.${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi ^{2}}$${\displaystyle \phi ^{4}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle d\mu }$

Para resumir, los axiomas llamados (OS0) - (OS4) por Glimm y Jaffe son más fuertes que los axiomas de OS en lo que respecta a los correlacionadores del campo , pero más débiles que el conjunto completo de axiomas de OS ya que no dicen mucho sobre correlacionadores de operadores compuestos.${\displaystyle \phi }$

Los axiomas de Nelson

Estos axiomas fueron propuestos por Edward Nelson . ^[7] Véase también su descripción en el libro de Barry Simon. ^[8] Como en los axiomas anteriores de Glimm y Jaffe, se supone que el campo es una distribución aleatoria con una medida . Esta medida es lo suficientemente regular para que el campo tenga una regularidad de un espacio de Sobolev de orden de derivada negativa. La característica crucial de estos axiomas es considerar el campo restringido a una superficie. Uno de los axiomas es la propiedad de Markov , que formaliza la noción intuitiva de que el estado del campo dentro de una superficie cerrada depende solo del estado del campo en la superficie. ${\displaystyle \phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle \phi }$

Ver también

• Rotación de la mecha
• Teoría de campos cuánticos axiomáticos
• Axiomas de Wightman

Referencias

1. Streater, RF; Wightman, AS (2000). PCT, spin y estadísticas, y todo eso . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07062-9. OCLC  953694720 .
2. Osterwalder, K. y Schrader, R .: "Axiomas para las funciones de Euclidean Green", Comm. Matemáticas. Phys. 31 (1973), 83–112; 42 (1975), 281-305.
3. Kravchuk, Petr; Qiao, Jiaxin; Rychkov, Slava (5 de abril de 2021). "Distribuciones en CFT II. Espacio Minkowski" . arXiv.org . Consultado el 10 de mayo de 2021 .
4. Osterwalder, Konrad; Schrader, Robert (1975). "Axiomas para funciones de Euclidean Green II". Comunicaciones en Física Matemática . Springer Science and Business Media LLC. 42 (3): 281-305. doi : 10.1007 / bf01608978 . ISSN 0010-3616 . 
5. Glaser, V. (1974). "Sobre la equivalencia de la formulación Euclidiana y Wightman de la teoría de campo". Comunicaciones en Física Matemática . Springer Science and Business Media LLC. 37 (4): 257–272. doi : 10.1007 / bf01645941 . ISSN 0010-3616 . 
6. Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987). Física cuántica: un punto de vista integral funcional . Nueva York, NY: Springer New York. ISBN 978-1-4612-4728-9. OCLC  852790676 .
7. Nelson, Edward (1 de enero de 1973). "Construcción de campos cuánticos a partir de campos Markoff" . Revista de análisis funcional . 12 (1): 97-112. doi : 10.1016 / 0022-1236 (73) 90091-8 . ISSN 0022-1236 . Consultado el 10 de mayo de 2021 . 
8. Simon, Barry (1974). La teoría del campo P (phi) _2 euclidiana (cuántica) . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08144-1. OCLC  905864308 .

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