Las distribuciones , también conocidas como distribuciones de Schwartz o funciones generalizadas , son objetos que generalizan la noción clásica de funciones en el análisis matemático . Las distribuciones permiten diferenciar funciones cuyas derivadas no existen en el sentido clásico. En particular, cualquier función integrable localmente tiene una derivada distributiva. Las distribuciones se utilizan ampliamente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , donde puede ser más fácil establecer la existencia de soluciones distributivas que las soluciones clásicas, o puede que no existan soluciones clásicas apropiadas. Las distribuciones también son importantes en física yingeniería donde muchos problemas conducen naturalmente a ecuaciones diferenciales cuyas soluciones o condiciones iniciales son distribuciones, como la función delta de Dirac .
Una función normalmente se piensa que actúa sobre los puntos en su dominio "enviando" un punto x en su dominio al punto En lugar de actuar sobre puntos, la teoría de la distribución reinterpreta funciones como actuando sobre funciones de prueba de cierta manera. Las funciones de prueba suelen ser funciones de valor complejo (oa veces de valor real ) infinitamente diferenciables con soporte compacto (las funciones de respuesta son ejemplos de funciones de prueba). Muchas "funciones estándar" (es decir, por ejemplo, una función que se encuentra normalmente en un curso de Cálculo ), por ejemplo, un mapa continuo. se puede reinterpretar canónicamente como actuar sobre funciones de prueba (en lugar de su interpretación habitual como actuar sobre puntos de su dominio) a través de la acción conocida como " integración contra una función de prueba"; explícitamente, esto significa que"actúa sobre" una función de prueba g "enviando" g al número Esta nueva acción de es, por tanto, un mapa complejo (o real) valorado , denotado porcuyo dominio es el espacio de funciones de prueba; este mapa resulta tener dos propiedades adicionales [nota 1] que lo convierten en lo que se conoce como una distribución enLas distribuciones que surgen de "funciones estándar" de esta manera son los ejemplos prototípicos de distribuciones. Pero hay muchas distribuciones que no surgen de esta forma y estas distribuciones se conocen como "funciones generalizadas". Los ejemplos incluyen la función delta de Dirac o algunas distribuciones que surgen a través de la acción de "integración de funciones de prueba contra medidas ". Sin embargo, mediante el uso de varios métodos, es posible reducir cualquier distribución arbitraria a una familia más simple de distribuciones relacionadas que surgen a través de tales acciones de integración.
En aplicaciones a la física y la ingeniería, el espacio de las funciones de prueba generalmente consiste en funciones suaves con soporte compacto que se definen en algún subconjunto abierto no vacío dado. Este espacio de funciones de prueba se denota por o y una distribución en U es, por definición, un funcional lineal eneso es continuo cuandose da una topología llamada la topología LF canónica . Esto conduce a la espacio de distribuciones (todos) en U , por lo general indican mediante(nótese el primo ), que por definición es el espacio de todas las distribuciones en(es decir, es el espacio dual continuo de); estas distribuciones son el foco principal de este artículo.
Hay otras opciones posibles para el espacio de funciones de prueba, que conducen a otros espacios diferentes de distribuciones. Sientonces el uso de funciones de Schwartz [nota 2] como funciones de prueba da lugar a un cierto subespacio decuyos elementos se denominan distribuciones templadas . Estos son importantes porque permiten que la transformada de Fourier se extienda de "funciones estándar" a distribuciones templadas. El conjunto de distribuciones templadas forma un subespacio vectorial del espacio de distribucionesy es así un ejemplo de un espacio de distribuciones; hay muchos otros espacios de distribuciones.
También existen otras clases principales de funciones de prueba que no son subconjuntos decomo espacios de funciones de prueba analíticas , que producen clases de distribuciones muy diferentes. La teoría de tales distribuciones tiene un carácter diferente a la anterior porque no existen funciones analíticas con soporte compacto no vacío. [nota 3] El uso de funciones de prueba analíticas conduce a la teoría de las hiperfunciones de Sato .
Historia
El uso práctico de distribuciones se remonta al uso de funciones de Green en la década de 1830 para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, pero no se formalizó hasta mucho más tarde. Según Kolmogorov y Fomin (1957) , las funciones generalizadas se originaron en el trabajo de Sergei Sobolev ( 1936 ) sobre ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas de segundo orden, y las ideas fueron desarrolladas en forma algo extendida por Laurent Schwartz a fines de la década de 1940. Según su autobiografía, Schwartz introdujo el término "distribución" por analogía con una distribución de carga eléctrica, posiblemente incluyendo no sólo cargas puntuales sino también dipolos, etc. Gårding (1997) comenta que aunque las ideas del libro transformador de Schwartz (1951) no eran completamente nuevas, fue el amplio ataque y la convicción de Schwartz de que las distribuciones serían útiles en casi todas partes en el análisis lo que marcó la diferencia.
Notación
Se utilizará la siguiente notación a lo largo de este artículo:
- es un entero positivo fijo y es un subconjunto abierto fijo no vacío del espacio euclidiano
- denota los números naturales .
- denotará un número entero no negativo o
- Si es una función entoncesdenotará su dominio y el apoyo de denotado por se define como el cierre del set en
- Para dos funciones , la siguiente notación define un emparejamiento canónico :
- Un índice múltiple de tamaño es un elemento en (dado que es fijo, si se omite el tamaño de los índices múltiples, se debe suponer que el tamaño es ). La longitud de un índice múltiple Se define como y denotado por Los índices múltiples son particularmente útiles cuando se trata de funciones de varias variables, en particular, presentamos las siguientes notaciones para un índice múltiple dado : También introducimos un orden parcial de todos los índices múltiples por si y solo si para todos Cuándo definimos su coeficiente binomial de índices múltiples como:
- denotará una cierta colección no vacía de subconjuntos compactos de (descrito en detalle a continuación).
Definiciones de funciones y distribuciones de prueba
En esta sección, vamos a definir formalmente las distribuciones de valores reales-en T . Con modificaciones menores, también se pueden definir distribuciones de valores complejos y se pueden reemplazarcon cualquier colector liso ( paracompacto ) .
Notación : Suponga
- Dejar denota el espacio vectorial de todos los k -los tiempos continuamente diferenciables funciones valores reales-en U .
- Para cualquier subconjunto compacto dejar y ambos denotan el espacio vectorial de todas esas funciones tal que
- Tenga en cuenta que depende tanto de K como de U, pero solo indicaremos K , donde en particular, si entonces el dominio de es T en lugar de K . Usaremos la notación solo cuando la notación corre el riesgo de ser ambiguo.
- Claramente, cada contiene el mapa constante 0 , incluso si
- Dejar denotar el conjunto de todos tal que para algunos compacto subconjunto K de U .
- Equivalentemente, es el conjunto de todos tal que Tiene soporte compacto.
- es igual a la unión de todos como se extiende sobre
- Si es una función de valor real en U , entonces es un elemento de si y solo si es un función de golpe . Cada función de prueba de valor real en es siempre también una función de prueba de valor complejo en
Tenga en cuenta que para todos y cualquier subconjunto compacto K y L de U , tenemos:
Definición : Elementos de se denominan funciones de prueba en U y se llama el espacio de la función de prueba de U . Usaremos ambos y para denotar este espacio.
Las distribuciones en U se definen como los funcionales lineales continuos encuando este espacio vectorial está dotado de una topología particular llamada topología LF canónica . Desafortunadamente, esta topología no es fácil de definir, pero aún es posible caracterizar las distribuciones de manera que no se haga mención de la topología LF canónica.
Proposición : Si T es un funcional lineal enentonces T es una distribución si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones equivalentes:
- Para cada subconjunto compacto existen constantes y tal que para todos [1]
- Para cada subconjunto compacto existen constantes y tal que para todos con apoyo contenido en [2]
- Para cualquier subconjunto compacto y cualquier secuencia en Si converge uniformemente a cero en para todos los índices múltiples , luego
Las caracterizaciones anteriores se pueden usar para determinar si un funcional lineal es una distribución, pero los usos más avanzados de distribuciones y funciones de prueba (como aplicaciones a ecuaciones diferenciales ) son limitados si no se colocan topologías en y Para definir el espacio de distribuciones, primero debemos definir la topología LF canónica, que a su vez requiere que se definan primero varios otros espacios vectoriales topológicos localmente convexos (TVS). Primero, una topología ( no normable ) en se definirá, entonces cada estará dotado de la topología subespacial inducida en él pory finalmente la topología LF canónica ( no metrizable ) enserá definido. El espacio de distribuciones, definido como el espacio dual continuo deluego está dotado con la topología dual fuerte (no metrizable) inducida pory la topología LF canónica (esta topología es una generalización de la topología inducida por la norma del operador habitual que se coloca en los espacios duales continuos de los espacios normativos ). Esto finalmente permite considerar nociones más avanzadas como la convergencia de distribuciones (tanto secuencias como redes), varios (sub) espacios de distribuciones y operaciones sobre distribuciones, incluida la extensión de ecuaciones diferenciales a distribuciones.
- Elección de conjuntos compactos
A lo largo de, será cualquier colección de subconjuntos compactos de tal que (1) y (2) para cualquier compacto existe algo tal que Las opciones más comunes para están:
- El conjunto de todos los subconjuntos compactos de o
- Un conjunto dónde y por todo yo , y es un subconjunto abierto no vacío relativamente compacto de(aquí, "relativamente compacto" significa que el cierre deen U o es compacto).
Hacemos en un conjunto dirigido definiendo si y solo si Tenga en cuenta que aunque las definiciones de las topologías definidas posteriormente hacen referencia explícita en realidad no dependen de la elección de eso es, si y ¿Hay dos colecciones de este tipo de subconjuntos compactos de luego las topologías definidas en y mediante el uso en lugar de son los mismos que los definidos mediante el uso en lugar de
Topología en C k (U)
Ahora presentamos las seminormas que definirán la topología enLos diferentes autores a veces usan diferentes familias de seminormas, por lo que enumeramos las familias más comunes a continuación. Sin embargo, la topología resultante es la misma independientemente de la familia que se utilice.
Suponer y es un subconjunto compacto arbitrario de Suponer un número entero tal que [nota 4] y es un índice múltiple con longitud Para definir:mientras que para definimos todas las funciones anteriores como el mapa constante 0 .
Cada una de las funciones anteriores no son negativas -valued [nota 5] seminormas en
Cada una de las siguientes familias de seminormas genera la misma topología vectorial localmente convexa en:
Supuesto : de ahora en adelante asumiremos que está dotado de la topología localmente convexa definida por cualquiera (o equivalentemente, todas) de las familias de seminormas descritas anteriormente.
Con esta topología, se convierte en un espacio de Fréchet localmente convexo ( no regulable ) y todas las seminormas definidas anteriormente son continuas en este espacio. Todas las seminormas definidas anteriormente son funciones continuas enBajo esta topología, una red en converge a si y solo si para cada índice múltiple con y cada el neto de derivadas parciales converge uniformemente a en [3] Para cualquiercualquier (von Neumann) subconjunto acotado dees un subconjunto relativamente compacto de[4] En particular, un subconjunto de está acotado si y solo si está acotado en para todos [4] El espacioes un espacio Montel si y solo si[5]
La topología en es el límite superior de las topologías subespaciales inducidas en por los televisores como yo se extiende sobre los enteros no negativos. [3] Un subconjunto de está abierto en esta topología si y solo si existe tal que está abierto cuando está dotado de la topología subespacial inducida en él por
- Métrica que define la topología
Si la familia de sets compactos satisface y para todos luego una métrica invariante de traducción completa en puede obtenerse tomando una combinación de Fréchet contable adecuada de cualquiera de las familias anteriores. Por ejemplo, usando seminormas resultados en la métrica
A menudo, es más fácil considerar seminarios.
Topología en C k ( K )
Como antes, arregla Recuerda que si es cualquier subconjunto compacto de luego
Supuesto : para cualquier subconjunto compacto de ahora en adelante asumiremos que está dotado de la topología subespacial que hereda del espacio Fréchet
Para cualquier subconjunto compacto es un subespacio cerrado del espacio Fréchet y, por tanto, también es un espacio Fréchet . Para todo compacto satisfactorio denotar el mapa de inclusión porEntonces este mapa es una incrustación lineal de TVS (es decir, es un mapa lineal que también es una incrustación topológica ) cuya imagen (o "rango") está cerrada en su codominio ; dicho de otra manera, la topología en es idéntica a la topología subespacial de la que hereda y también es un subconjunto cerrado de El interior de relativo a esta vacio. [6]
Si es finito entonces es un espacio de Banach [7] con una topología que puede ser definida por la norma
Y cuando luego es incluso un espacio de Hilbert . [7] El espacioes un distinguido espacio de Schwartz Montel, así que sientonces es no normable y por lo tanto no un espacio de Banach (aunque al igual que todos los demáses un espacio Fréchet ).
Extensiones triviales e independencia de la topología de C k ( K ) de U
La definición de depende de U, así que dejaremos denotar el espacio topológico que por definición es un subespacio topológico de Suponer es un subconjunto abierto de conteniendo Dado su trivial extensión a V es, por definición, la función definido por:
así que eso Dejar denotar el mapa que envía una función en a su extensión trivial en V . Este mapa es una inyección lineal y para cada subconjunto compacto tenemos dónde es el subespacio vectorial de que consta de mapas con soporte contenido en (desde es también un subconjunto compacto de ). Resulta queSi estoy restringido aentonces el siguiente mapa lineal inducido es un homeomorfismo (y por lo tanto un isomorfismo TVS):
y así los dos mapas siguientes (que, al igual que el mapa anterior, están definidos por ) son incrustaciones topológicas :
(la topología en es la topología LF canónica, que se define más adelante). Utilizando nosotros identificamos con su imagen en Porque a través de esta identificación, también se puede considerar como un subconjunto de Es importante destacar que la topología del subespacio hereda de (cuando se ve como un subconjunto de ) es idéntica a la topología subespacial de la que hereda (Cuándo se ve en cambio como un subconjunto de a través de la identificación). Así, la topología enes independiente del subconjunto abierto U deque contiene K . [6] Esto justifica la práctica de escribir en vez de
Topología canónica LF
Recordar que denotar todas esas funciones en que tienen soporte compacto en donde nota que es la unión de todos como K se extiende sobreAdemás, para cada k , es un subconjunto denso de El caso especial cuando nos da el espacio de funciones de prueba.
se llama el espacio de funciones de prueba en y también se puede denotar por
Esta sección define la topología LF canónica como un límite directo . También es posible definir esta topología en términos de sus vecindades del origen, que se describe a continuación.
- Topología definida por límites directos
Para dos conjuntos cualesquiera K y L , declaramos que si y solo si que en particular hace que la colección de subconjuntos compactos de U en un conjunto dirigido (decimos que tal colección está dirigida por inclusión de subconjuntos ). Para todo compacto satisfactorio hay mapas de inclusión
Recuerde desde arriba que el mapa es una incrustación topológica . La colección de mapas
forma un sistema directo en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos que está dirigido por(bajo inclusión de subconjunto). El límite directo de este sistema (en la categoría de TVS localmente convexos) es el par dónde son las inclusiones naturales y donde ahora está dotado con la topología convexa localmente más fuerte (única) que hace que todos los mapas de inclusión continuo.
La topología canónica de LF enes la topología convexa local más fina en haciendo todos los mapas de inclusión continuo (donde K se extiende sobre ).
Supuesto : Como es común en la literatura matemática, este artículo asumirá en adelante que está dotado de su topología LF canónica (a menos que se indique explícitamente lo contrario).
- Topología definida por vecindarios del origen
Si U es un subconjunto convexo deentonces U es una vecindad del origen en la topología LF canónica si y solo si satisface la siguiente condición:
- Para todos es un barrio del origen en
( CN )
Tenga en cuenta que cualquier conjunto convexo que satisfaga esta condición necesariamente absorbe enDado que la topología de cualquier espacio vectorial topológico es invariante en la traducción, cualquier topología TVS está completamente determinada por el conjunto de vecindad del origen. Esto significa que uno podría realmente definir la topología LF canónica declarando que un subconjunto U balanceado convexo es una vecindad del origen si y solo si satisface la condición CN .
- Topología definida mediante operadores diferenciales
Un operador diferencial lineal en U con coeficientes suaves es una suma
dónde y todos menos un número finito de son idénticamente 0 . El enterose llama el orden del operador diferencial Si es un operador diferencial lineal de orden k, entonces induce un mapa lineal canónico definido por donde reutilizaremos la notación y también denotaremos este mapa por [8]
Para cualquier la topología LF canónica en es la topología TVS localmente convexa más débil, lo que hace que todos los operadores diferenciales lineales estén en U de orden en mapas continuos desde dentro [8]
Propiedades de la topología LF canónica
- La independencia de la topología LF canónica de
Un beneficio de definir la topología LF canónica como el límite directo de un sistema directo es que podemos usar inmediatamente la propiedad universal de los límites directos. Otro beneficio es que podemos usar resultados bien conocidos de la teoría de categorías para deducir que la topología LF canónica es realmente independiente de la elección particular de la colección dirigida.de conjuntos compactos. Y considerando diferentes colecciones (en particular, aquellos mencionado al principio de este artículo), podemos deducir diferentes propiedades de esta topología. En particular, podemos deducir que la topología LF canónica haceen un espacio LF estricto localmente convexo de Hausdorff (y también un espacio LB estricto si), que por supuesto es la razón por la que esta topología se denomina "topología LF canónica" (consulte esta nota al pie para obtener más detalles). [nota 6]
- Propiedad universal
De la propiedad universal de los límites directos , sabemos que sies un mapa lineal en un espacio localmente convexo Y (no necesariamente Hausdorff), entonces u es continuo si y solo si u está acotado si y solo si para cadala restricción de u aes continuo (o acotado). [9] [10]
- Dependencia de la topología LF canónica en U
Suponga que V es un subconjunto abierto de conteniendo Dejar denotar el mapa que envía una función en a su trivial extensión en V (que se definió anteriormente). Este mapa es un mapa lineal continuo. [11] Si (y solo si) luego no es un subconjunto denso de y no es una incrustación topológica . [11] En consecuencia, si luego la transposición de no es ni uno a uno ni sobre. [11]
- Subconjuntos acotados
Un subconjunto B deestá delimitado en si y solo si existe alguna tal que y B es un subconjunto acotado de[10] Además, si es compacto y entonces S está acotado en si y solo si está acotado en Para cualquier cualquier subconjunto acotado de (resp. ) es un subconjunto relativamente compacto de (resp. ), dónde [10]
- No metrizabilidad
Para todo compacto el interior de en está vacío para que es de la primera categoría en sí mismo. Se deduce del teorema de Baire queno es metrizable y, por lo tanto, tampoco normable (consulte esta nota al pie [nota 7] para obtener una explicación de cómo el espacio no metrizablepuede ser completo aunque no admita métrica). El hecho de quees un espacio nuclear de Montel compensa la no metrizabilidad de(consulte esta nota a pie de página para obtener una explicación más detallada). [nota 8]
- Relaciones entre espacios
Usando la propiedad universal de los límites directos y el hecho de que las inclusiones naturalesson incrustaciones topológicas , se puede mostrar que todos los mapastambién son incrustaciones topológicas. Dicho de otra manera, la topología enes idéntica a la topología del subespacio que hereda de donde recordar eso La topología se definió como la topología subespacial inducida en ella por En particular, ambos y induce la misma topología subespacial en Sin embargo, esto no implica que la topología LF canónica en es igual a la topología subespacial inducida en por ; estas dos topologías ende hecho, nunca son iguales entre sí, ya que la topología LF canónica nunca es metrizable mientras que la topología subespacial inducida por es metrizable (ya que recuerda que es metrizable). La topología canónica de LF enes en realidad estrictamente más fina que la topología subespacial que hereda de (de ahí la inclusión natural es continua pero no una incrustación topológica ). [7]
De hecho, la topología LF canónica es tan fina que si denota un mapa lineal que es una "inclusión natural" (como o u otros mapas discutidos a continuación) entonces este mapa será típicamente continuo, que como se muestra a continuación, es en última instancia la razón por la que las funciones integrables localmente, medidas de Radon , etc., inducen distribuciones (a través de la transposición de tal "inclusión natural"). Dicho de otra manera, la razón por la que hay tantas formas diferentes de definir distribuciones de otros espacios se debe en última instancia a lo fina que es la topología LF canónica. Además, dado que las distribuciones son solo funcionales lineales continuos en la naturaleza fina de la topología LF canónica significa que más funcionales lineales en terminan siendo continuos ("más" significa en comparación con una topología más burda que podríamos haber colocado en como, por ejemplo, la topología subespacial inducida por algunos que aunque hubiera hecho metrizable, también habría resultado en menos funcionales lineales en siendo continuo y, por tanto, habría habido menos distribuciones; Además, esta topología más tosca en particular también tiene la desventaja de no haceren un TVS completo [12] ).
- Otras propiedades
- El mapa de diferenciación es un operador lineal continuo sobreyectivo. [13]
- El mapa de multiplicación bilineal dada por no es continuo; sin embargo, es hipocontinua . [14]
Distribuciones
Como se discutió anteriormente, los funcionales lineales continuos en unson conocidos como distribuciones en U . Así, el conjunto de todas las distribuciones en U es el espacio dual continuo deque cuando está dotado de la topología dual fuerte se denota por
Por definición, una distribución en U se define como un funcional lineal continuo en Dicho de otra manera, una distribución en U es un elemento del espacio dual continuo de Cuándo está dotado de su topología LF canónica.
Tenemos el emparejamiento de dualidad canónica entre una distribución T en U y una función de pruebaque se denota utilizando corchetes angulares por
Se interpreta esta notación como la distribución T que actúa sobre la función de prueba para dar un escalar, o simétricamente como la función de prueba que actúa sobre la distribución t .
- Caracterizaciones de distribuciones
Proposición. Si T es un funcional lineal en Entonces los siguientes son equivalentes:
- T es una distribución;
- Definición : T es continuo ;
- T es continuo en el origen;
- T es uniformemente continuo ;
- T es un operador acotado ;
- T es secuencialmente continuo ;
- explícitamente, para cada secuencia en que converge en Para algo [nota 9]
- T es secuencialmente continuo en el origen; en otras palabras, T mapea secuencias nulas [nota 10] a secuencias nulas;
- explícitamente, para cada secuencia en que converge en al origen (tal secuencia se llama secuencia nula ),
- una secuencia nula es por definición una secuencia que converge al origen;
- T mapea secuencias nulas a subconjuntos acotados;
- explícitamente, para cada secuencia en que converge en al origen, la secuencia está ligado;
- T mapea secuencias nulas de convergencia de Mackey [nota 11] a subconjuntos acotados;
- explícitamente, para cada secuencia nula convergente de Mackey en la secuencia está ligado;
- una secuencia se dice que es Mackey convergente a 0 si existe una secuencia divergente de número real positivo tal que la secuencia está ligado; toda secuencia que es Mackey convergente a 0 necesariamente converge al origen (en el sentido habitual);
- El núcleo de T es un subespacio cerrado de
- La gráfica de T está cerrada;
- Existe una continua seminorma g en tal que
- Existe una constante una colección de seminarios continuos, que define la topología LF canónica de y un subconjunto finito tal que [nota 12]
- Para cada subconjunto compacto existen constantes y tal que para todos [1]
- Para cada subconjunto compacto existen constantes y tal que para todos con apoyo contenido en [15]
- Para cualquier subconjunto compacto y cualquier secuencia en Si converge uniformemente a cero para todos los índices múltiples p , entonces
- Cualquiera de las tres declaraciones inmediatamente anteriores (es decir, declaraciones 14, 15 y 16) pero con el requisito adicional de que el conjunto compacto K pertenece a
Topología en el espacio de distribuciones
Definición y notación : el espacio de distribuciones en U , denotado por es el espacio dual continuo de dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de [7] Más sucintamente, el espacio de distribuciones en U es
La topología de la convergencia uniforme sobre subconjuntos acotados también se llama la topología fuerte doble . [nota 13] Se elige esta topología porque es con esta topología quese convierte en un espacio de Montel nuclear y es con esta topología que se sostiene el teorema de los núcleos de Schwartz . [16] Independientemente de la topología dual que se coloque[nota 14] una secuencia de distribuciones converge en esta topología si y solo si converge puntualmente (aunque esto no tiene por qué ser cierto para una red ). Independientemente de la topología elegida,será un no metrizable , localmente convexa espacio topológico vectorial . El espacioes separable [17] y tiene la fuerte propiedad de Pytkeev [18] pero no es un espacio k [18] ni un espacio secuencial , [17] lo que en particular implica que no es metrizable y también que su topología no puede ser definido usando solo secuencias.
Propiedades topologicas
- Categorías de espacios vectoriales topológicos
La topología LF canónica hace en un espacio LF estricto distinguido completo (y un espacio LB estricto si y solo si [19] ), lo que implica quees un pequeño subconjunto de sí mismo. [20] Además,además de su fuerte espacio dual , es un espacio completo de Mackey bornológico con barriles localmente convexos de Hausdorff . El fuerte dual de es un espacio de Fréchet si y solo si en particular, el fuerte dual de cual es el espacio de distribuciones en U , no es metrizable (tenga en cuenta que la topología débil- * enTampoco es metrizable y por otra parte, que además carece de casi todas las propiedades agradables que la topología fuerte de doble da).
Los tres espacios y el espacio Schwartz así como los duales fuertes de cada uno de estos tres espacios, son espacios completos nucleares [21] Montel [22] bornológicos , lo que implica que los seis de estos espacios localmente convexos son también espacios de Mackey paracompactos [23] reflexivos con cañón . Los espacios y Ambos son espacios distinguidos de Fréchet . Además, tanto y son televisores de Schwartz .
Secuencias convergentes
- Secuencias convergentes y su insuficiencia para describir topologías
Los fuertes espacios duales de y son espacios secuenciales pero no espacios de Fréchet-Urysohn . [17] Además, ni el espacio de funciones de prueba ni su fuerte dual es un espacio secuencial (ni siquiera un espacio Ascoli ), [17] [24] lo que en particular implica que sus topologías no se pueden definir completamente en términos de secuencias convergentes.
Una secuencia en converge en si y solo si existe alguna tal que contiene esta secuencia y esta secuencia converge en ; de manera equivalente, converge si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes: [25]
- Hay un conjunto compacto conteniendo los apoyos de todos
- Para cada índice múltiple la secuencia de derivadas parciales tiende uniformemente a
Ni el espacio ni su fuerte dual es un espacio secuencial , [17] [24] y, en consecuencia, sus topologías no se pueden definir completamente en términos de secuencias convergentes. Por esta razón, la caracterización anterior de cuando una secuencia converge no es suficiente para definir la topología LF canónica en Lo mismo puede decirse de la fuerte topología dual en
- ¿Qué secuencias caracterizan
Sin embargo, las secuencias caracterizan muchas propiedades importantes, como discutimos ahora. Se sabe que en el espacio dual de cualquier espacio de Montel, una secuencia converge en la topología dual fuerte si y solo si converge en la topología débil * , [26] que en particular, es la razón por la cual converge una secuencia de distribuciones ( en la topología dual fuerte) si y solo si converge puntualmente (esto lleva a muchos autores a usar la convergencia puntual para definir realmente la convergencia de una secuencia de distribuciones; esto está bien para secuencias pero no se extiende a la convergencia de redes de distribuciones ya que una red puede converger puntualmente pero no converger en la topología dual fuerte).
Las secuencias caracterizan la continuidad de mapas lineales valorados en el espacio convexo local. Suponga que X es un espacio bornológico localmente convexo (como cualquiera de los seis TVS mencionados anteriormente). Luego un mapa linealen un espacio localmente convexa Y es continua si y sólo si los mapas de secuencias nulos [nota 10] en X a subconjuntos acotados de Y . [nota 15] De manera más general, un mapa lineales continuo si y solo si mapea secuencias nulas convergentes de Mackey [nota 11] a subconjuntos acotados de En particular, si un mapa lineal en un espacio localmente convexo es secuencialmente continuo en el origen, entonces es continuo. [27] Sin embargo, esto no se extiende necesariamente a mapas no lineales y / o mapas valorados en espacios topológicos que no son TVS localmente convexos.
Para cada es secuencialmente denso en[28] Además, es un subconjunto secuencialmente denso de (con su fuerte topología dual) [29] y también un subconjunto secuencialmente denso del fuerte espacio dual de[29]
- Secuencias de distribuciones
Una secuencia de distribuciones converge con respecto a la topología débil * en a una distribución T si y solo si
para cada función de prueba Por ejemplo, si es la funcion
y es la distribución correspondiente a luego
como entonces δ en Por lo tanto, para grandes la función puede considerarse como una aproximación de la distribución delta de Dirac.
- Otras propiedades
- El fuerte espacio dual de es TVS isomorfo a a través del isomorfismo canónico de TVS definido enviando al valor en el (es decir, al funcional lineal en definido enviando a );
- En cualquier subconjunto acotado de las topologías subespaciales débil y fuerte coinciden; lo mismo es cierto para;
- Cada secuencia débilmente convergente en es fuertemente convergente (aunque esto no se extiende a las redes ).
Localización de distribuciones
No hay forma de definir el valor de una distribución en en un punto de especial U . Sin embargo, como es el caso de las funciones, distribuciones en U restringen para dar distribuciones en subconjuntos abiertos de U . Además, las distribuciones se determinan localmente en el sentido de que una distribución en todo U puede ensamblarse a partir de una distribución en una cubierta abierta de U que satisfaga algunas condiciones de compatibilidad en las superposiciones. Tal estructura se conoce como gavilla .
Restricciones a un subconjunto abierto
Sean U y V subconjuntos abiertos de con . Dejarser el operador que se extiende por cero una función suave dado soporte compacto en V para una función suave de forma compacta soportado en el conjunto más grande U . La transposición de se llama mapeo de restricción y se denota por
El mapa es una inyección continua donde si entonces es no una inmersión topológica y su rango es no denso en lo que implica que la transposición de este mapa no es inyectiva ni sobreyectiva y que la topología que transferencias desde en su imagen es estrictamente más fina que la topología subespacial que induce en este mismo conjunto. [11] Una distribuciónse dice que es extensible a U si pertenece al rango de la transposición dey se llama extensible si es extensible a[11]
Para cualquier distribución la restricción ρ VU ( T ) es una distribución en definido por:
A menos que U = V , la restricción a V no es inyectiva ni sobreyectiva . La falta de sobreyectividad sigue desde distribuciones pueden volar hacia el límite de V . Por ejemplo, si y luego la distribución
es en pero no admite extensión a
Pegados y distribuciones que se desvanecen en un conjunto
Teorema [30] - Sea ser una colección de subconjuntos abiertos de Para cada dejar y supongamos que para todos la restricción de a es igual a la restricción de a (tenga en cuenta que ambas restricciones son elementos de ). Entonces existe un único tal que para todos la restricción de T a es igual a
Deje que V sea un subconjunto abierto de U .se dice que desaparece en V si para todos tal que tenemos T desaparece en V si y solo si la restricción de T a V es igual a 0, o de manera equivalente, si y solo si T se encuentra en el núcleo del mapa de restricción ρ VU .
- Corolario. [30] Deja ser una colección de subconjuntos abiertos de y deja T = 0 si y solo si para cada la restricción de T a es igual a 0.
- Corolario. [30] La unión de todos los subconjuntos abiertos de U en los que desaparece una distribución T es un subconjunto abierto de U en el que T desaparece.
Soporte de una distribución
Este último corolario implica que para cada distribución T en U , existe un subconjunto único más grande V de U tal que T desaparece en V (y no desaparece en ningún subconjunto abierto de U que no esté contenido en V ); el complemento en T de este único subconjunto abierto más grande se llama el apoyo de T . [30] Así
Si es una función integrable localmente en U y si es su distribución asociada, entonces el soporte de es el subconjunto cerrado más pequeño de U en el complemento del cuales casi en todas partes igual a 0. [30] Si es continuo, entonces el apoyo de es igual al cierre del conjunto de puntos en U en el queno desaparece. [30] El apoyo de la distribución asociada con la medida de Dirac en un punto es el set [30] Si el apoyo de una función de pruebano interseca el soporte de una distribución T, entonces Tf = 0 . Una distribución T es 0 si y solo si su soporte está vacío. Sies idénticamente 1 en un conjunto abierto que contiene el soporte de una distribución T entonces fT = T . Si el soporte de una distribución T es compacto, entonces tiene un orden finito y, además, hay una constante C y un entero no negativo N tal que: [6]
Si T tiene soporte compacto, entonces tiene una extensión única a un funcional lineal continuo. en ; este funcional se puede definir por dónde es cualquier función que es idénticamente 1 en un conjunto abierto que contiene el soporte de T . [6]
Si y luego y Por tanto, las distribuciones con soporte en un subconjunto dado formar un subespacio vectorial de ; tal subespacio está débilmente cerrado ensi y sólo si A es cerrado en U . [31] Además, sies un operador diferencial en U , entonces para todas las distribuciones T en U y todas tenemos y [31]
Distribuciones con soporte compacto
- Soporte en un conjunto de puntos y medidas de Dirac
Para cualquier dejar denotar la distribución inducida por la medida de Dirac en x . Para cualquier y distribución el soporte de T está contenido ensi y solo si T es una combinación lineal finita de derivadas de la medida de Dirac en[32] Si además el orden de T es entonces existen constantes tal que: [33]
Dicho de otra manera, si T tiene soporte en un solo puntoentonces T es de hecho una combinación finito lineal de los derivados de la distribución de la δ función en P . Es decir, existe un entero my constantes complejas a α tal que
dónde es el operador de traducción.
- Distribución con soporte compacto
Teorema [6] - Supongamos que T es una distribución en U con soporte compacto K . Existe una función continuadefinido en U y un multi-índice p tal que
donde los derivados se entienden en el sentido de distribuciones. Es decir, para todas las funciones de pruebaen U ,
- Distribuciones de orden finito con soporte en un subconjunto abierto
Teorema [6] - Supongamos que T es una distribución en U con soporte compacto K y dejar que V sea un subconjunto abierto de U que contiene K . Dado que cada distribución con soporte compacto tiene un orden finito, tome N como el orden de T y defina Existe una familia de funciones continuas definido en U con soporte en V tal que
donde los derivados se entienden en el sentido de distribuciones. Es decir, para todas las funciones de pruebaen U ,
Estructura global de distribuciones
La definición formal de distribuciones las presenta como un subespacio de un espacio muy grande, es decir, el dual topológico de (o el espacio Schwartz para distribuciones templadas). No queda claro de inmediato a partir de la definición cuán exótica puede ser una distribución. Para responder a esta pregunta, es instructivo ver distribuciones construidas a partir de un espacio más pequeño, a saber, el espacio de funciones continuas. Aproximadamente, cualquier distribución es localmente una derivada (múltiple) de una función continua. Una versión precisa de este resultado, que se muestra a continuación, es válida para distribuciones de soporte compacto, distribuciones templadas y distribuciones generales. En términos generales, ningún subconjunto adecuado del espacio de distribuciones contiene todas las funciones continuas y está cerrado bajo diferenciación. Esto dice que las distribuciones no son objetos particularmente exóticos; son tan complicados como sea necesario.
- Distribuciones como gavillas
Teorema [34] - Let T sea una distribución en U . Existe una secuencia en de modo que cada T i tenga un soporte compacto y cada subconjunto compactointersecta el apoyo de sólo un número finito T i , y la secuencia de sumas parciales definido por converge en a T ; en otras palabras tenemos:
Recuerde que una secuencia converge en (con su fuerte topología dual) si y solo si converge puntualmente.
Descomposición de distribuciones como sumas de derivadas de funciones continuas
Mediante la combinación de los resultados anteriores, se puede expresar cualquier distribución en U como la suma de una serie de distribuciones con soporte compacto, donde cada una de estas distribuciones pueden a su vez ser escrita como una suma finita de los derivados de la distribución de funciones continuas en U . En otras palabras para arbitrario podemos escribir:
dónde son conjuntos finitos de índices múltiples y las funciones son continuos.
Teorema [35] - Let T ser una distribución en U . Para cada multi-índice p existe una función continua g p en U tal que
- cualquier subconjunto compacto K de U interseca el soporte de solo un número finito de g p , y
Además, si T tiene un orden finito, entonces se puede elegir g p de tal manera que solo un número finito de ellos sean distintos de cero.
Tenga en cuenta que la suma infinita anterior está bien definida como una distribución. El valor de T para un determinadose puede calcular utilizando los finitos g α que se cruzan con el soporte de
Operaciones sobre distribuciones
Muchas operaciones que se definen en funciones suaves con soporte compacto también se pueden definir para distribuciones. En general, sies un mapa lineal que es continuo con respecto a la topología débil , entonces es posible extender A a un mapapasando al límite. [nota 16] [ cita requerida ] [ aclaración necesaria ]
Preliminares: Transposición de un operador lineal
Las operaciones en distribuciones y espacios de distribuciones a menudo se definen mediante la transposición de un operador lineal porque proporciona un enfoque unificado que las muchas definiciones en la teoría de distribuciones y debido a sus muchas propiedades topológicas bien conocidas. [36] En general, la transposición de un mapa lineal continuo es el mapa lineal definido por o equivalentemente, es el mapa único que satisface para todos y todo Dado que A es continua, la transposicióntambién es continuo cuando ambos duales están dotados de sus respectivas topologías duales fuertes; también es continuo cuando ambos duales están dotados de sus respectivas topologías débiles * (consulte los artículos sobre topología polar y sistema dual para obtener más detalles).
En el contexto de las distribuciones, la caracterización de la transposición se puede refinar ligeramente. Dejarser un mapa lineal continuo. Entonces, por definición, la transpuesta de A es el operador lineal único que satisface:
- para todos y todo
Sin embargo, dado que la imagen de es denso en es suficiente que la igualdad anterior se mantenga para todas las distribuciones de la forma dónde Explícitamente, esto significa que la condición anterior se cumple si y solo si se cumple la condición siguiente:
- para todos
Operadores diferenciales
Diferenciación de distribuciones
Dejar es el operador de derivada parcial Para extender calculamos su transposición:
Por lo tanto Por lo tanto, la derivada parcial de con respecto a la coordenada está definido por la fórmula
Con esta definición, toda distribución es infinitamente diferenciable y la derivada en la dirección es un operador lineal en
De manera más general, si es un índice múltiple arbitrario , entonces la derivada parcial de la distribución es definido por
La diferenciación de distribuciones es un operador continuo en esta es una propiedad importante y deseable que no comparten la mayoría de las otras nociones de diferenciación.
Si T es una distribución en luego
dónde es la derivada de T y τ x es la traslación por x ; por tanto, la derivada de T puede verse como un límite de cocientes. [37]
Operadores diferenciales que actúan sobre funciones suaves
Un operador diferencial lineal en U con coeficientes suaves actúa sobre el espacio de funciones suaves en Dado nos gustaría definir un mapa lineal continuo, que extiende la acción de en a distribuciones en En otras palabras, nos gustaría definir tal que el siguiente diagrama conmuta:
Donde los mapas verticales se dan asignando su distribución canónica que se define por: para todos Con esta notación el diagrama de desplazamiento es equivalente a:
Para encontrar consideramos la transposición del mapa inducido continuo definido por Como se discutió anteriormente, para cualquier la transposición puede calcularse mediante:
Para la última línea usamos la integración por partes combinada con el hecho de que y por tanto todas las funciones tienen soporte compacto. [nota 17] Continuando con el cálculo anterior, tenemos para todos
Definir la transposición formal de que será denotado por para evitar confusiones con el mapa de transposición, ser el siguiente operador diferencial en U :
Los cálculos anteriores han demostrado que:
- Lema. Dejar ser un operador diferencial lineal con coeficientes suaves en Entonces para todos tenemos
- que es equivalente a:
El Lema combinado con el hecho de que la transposición formal de la transposición formal es el operador diferencial original, es decir [8] nos permite llegar a la definición correcta: la transposición formal induce al operador lineal canónico (continuo) definido por Afirmamos que la transposición de este mapa, se puede tomar como Para ver esto, para cada , calcula su acción en una distribución de la forma con :
Llamamos al operador lineal continuo el operador diferencial en las distribuciones que se extienden P . [8] Su acción sobre una distribución arbitraria se define mediante:
Si converge a luego para cada multi-índice converge a
Multiplicación de distribuciones por funciones suaves.
Un operador diferencial de orden 0 es simplemente una multiplicación por una función suave. Y a la inversa, si es una función suave entonces es un operador diferencial de orden 0, cuya transposición formal es él mismo (es decir, ). El operador diferencial inducidomapea una distribución T a una distribución denotada por Por tanto, hemos definido la multiplicación de una distribución por una función suave.
Ahora damos una presentación alternativa de la multiplicación por una función suave. Sies una función suave y T es una distribución en U , entonces el producto mT está definido por
Esta definición coincide con la definición de transposición ya que si es el operador de multiplicación por la función m (es decir,), luego
así que eso
Bajo la multiplicación por funciones suaves, es un módulo sobre el anillo Con esta definición de multiplicación por una función suave, la regla de cálculo del producto ordinario sigue siendo válida. Sin embargo, también surgen varias identidades inusuales. Por ejemplo, si δ ′ es la distribución delta de Dirac en, entonces mδ = m (0) δ , y si δ ′ es la derivada de la distribución delta, entonces
El mapa de multiplicación bilineal dada por no es continuo; sin embargo, es hipocontinua . [14]
Ejemplo. Para cualquier distribución T , el producto de T con la función que es idénticamente 1 en U es igual a T .
Ejemplo. Suponeres una secuencia de funciones de prueba en U que converge a la función constantePara cualquier distribución T en U , la secuencia converge a [38]
Si converge a y converge a luego converge a
Problema de multiplicar distribuciones
Es fácil definir el producto de una distribución con una función suave, o más generalmente el producto de dos distribuciones cuyos soportes singulares son disjuntos. Con más esfuerzo es posible definir un producto de buen comportamiento de varias distribuciones siempre que sus conjuntos de frentes de onda en cada punto sean compatibles. Una limitación de la teoría de distribuciones (e hiperfunciones) es que no existe un producto asociativo de dos distribuciones que extiendan el producto de una distribución mediante una función suave, como lo demostró Laurent Schwartz en la década de 1950. Por ejemplo, si pv1/Xes la distribución obtenida por el valor principal de Cauchy
Si δ es la distribución delta de Dirac, entonces
pero
por tanto, el producto de una distribución por una función suave (que siempre está bien definida) no puede extenderse a un producto asociativo en el espacio de distribuciones.
Por lo tanto, los problemas no lineales no pueden plantearse en general y, por lo tanto, no pueden resolverse solo dentro de la teoría de la distribución. En el contexto de la teoría cuántica de campos , sin embargo, se pueden encontrar soluciones. En más de dos dimensiones del espacio-tiempo, el problema está relacionado con la regularización de las divergencias . Aquí Henri Epstein y Vladimir Glaser desarrollaron la teoría de la perturbación causal matemáticamente rigurosa (pero extremadamente técnica) . Esto no resuelve el problema en otras situaciones. Muchas otras teorías interesantes no son lineales, como por ejemplo las ecuaciones de dinámica de fluidos de Navier-Stokes .
Se han desarrollado varias teorías no del todo satisfactorias [ cita requerida ] de álgebras de funciones generalizadas , entre las cuales la álgebra de Colombeau (simplificada) es quizás la más popular en uso en la actualidad.
Inspirado por la teoría de la trayectoria aproximada de Lyons , [39] Martin Hairer propuso una forma consistente de multiplicar distribuciones con cierta estructura ( estructuras de regularidad [40] ), disponible en muchos ejemplos del análisis estocástico, en particular ecuaciones diferenciales parciales estocásticas. Ver también Gubinelli-Imkeller-Perkowski (2015) para un desarrollo relacionado basado en Bony 's paraproduct a partir del análisis de Fourier.
Composición con una función suave
Sea T una distribución enSea V un conjunto abierto eny F : V → U . Si F es una inmersión , es posible definir
Esta es la composición de la distribución T con F , y también se llama la retirada de T a lo largo de F , a veces escrito
El retroceso a menudo se denota F * , aunque esta notación no debe confundirse con el uso de '*' para denotar el adjunto de un mapeo lineal.
La condición de que F sea una inmersión es equivalente al requisito de que la derivada jacobianade F es un mapa lineal sobreyectivo para cada Una condición necesaria (pero no suficiente) para extender a las distribuciones es que F sea un mapeo abierto . [41] El teorema de la función inversa asegura que una inmersión satisface esta condición.
Si F es una inmersión, entoncesse define en distribuciones encontrando el mapa de transposición. La singularidad de esta extensión está garantizada ya que es un operador lineal continuo en La existencia, sin embargo, requiere el uso de la fórmula de cambio de variables , el teorema de la función inversa (localmente) y un argumento de partición de unidad . [42]
En el caso especial cuando F es un difeomorfismo de un subconjunto abierto V deen un subconjunto abierto U de cambio de variables bajo la integral da
En este caso particular, entonces, se define mediante la fórmula de transposición:
Circunvolución
En algunas circunstancias, es posible definir la convolución de una función con una distribución, o incluso la convolución de dos distribuciones. Recuerda que si y son funciones en entonces denotamos por la convolución de y , definido en ser la integral
siempre que exista la integral. Si son tales que luego para cualquier función y tenemos y [43] Siy g son funciones continuas en al menos uno de los cuales tiene soporte compacto, entonces y si entonces el valor de en un no no dependerá de los valores defuera de la suma de Minkowski [43]
Es importante destacar que si tiene soporte compacto para cualquier el mapa de convolución es continuo cuando se considera como el mapa o como el mapa [43]
- Traslación y simetría
Dado el operador de traducción τ a envía a definido por Esto puede extenderse mediante la transposición a distribuciones de la siguiente manera: dada una distribución T , la traducción de por es la distribucion definido por [44] [45]
Dado definir la función por Dada una distribución T , sea ser la distribución definida por El operador se llama simetría con respecto al origen . [44]
Convolución de una función de prueba con una distribución
Convolución con define un mapa lineal:
que es continua con respecto a la topología espacial canónica de LF en
Convolución de con una distribución se puede definir tomando la transposición de relativo al emparejamiento de dualidad de con el espacio de distribuciones. [46] Siluego por el teorema de Fubini
Extendiéndose por continuidad, la convolución de con una distribución T se define por
para todos
Una forma alternativa de definir la convolución de una función de prueba y una distribución T es utilizar el operador de traducción τ a . La convolución de la función de soporte compactoy la distribución T es entonces la función definida para cada por
Se puede demostrar que la convolución de una función suave y con un soporte compacto y una distribución es una función suave. Si la distribución T tiene soporte compacto, entonces si es un polinomio (resp. una función exponencial, una función analítica, la restricción de una función analítica completa en a la restricción de una función completa de tipo exponencial en a ) entonces lo mismo es cierto de [44] Si la distribución T también tiene soporte compacto, entonceses una función con soporte compacto, y el teorema de convolución de Titchmarsh Hörmander (1983 , Teorema 4.3.3) implica que
donde ch denota el casco convexo y sup denota el soporte.
Convolución de una función suave con una distribución
Dejar y y asumir que al menos uno de y T tiene soporte compacto. La convolución dey T , denotado por o por es la función suave: [44]
satisfactorio para todos :
Si T es una distribución, entonces el mapa es continuo como un mapa donde si además T tiene soporte compacto, entonces también es continuo como el mapa y continuo como el mapa [44]
Si es un mapa lineal continuo tal que para todos y todo entonces existe una distribucion tal que para todos [6]
Ejemplo. [6] Sea H la función Heaviside en. Para cualquier
Dejar ser la medida de Dirac en 0 y su derivada como distribución. Luego y Es importante destacar que la ley asociativa no cumple:
Convolución de distribuciones
También es posible definir la convolución de dos distribuciones S y T ensiempre que uno de ellos tenga soporte compacto. Informalmente, con el fin de definirdonde T tiene soporte compacto, la idea es extender la definición de la convolución a una operación lineal sobre distribuciones de modo que la fórmula de asociatividad
se mantiene para todas las funciones de prueba [47]
También es posible proporcionar una caracterización más explícita de la convolución de distribuciones. [46] Suponga que S y T son distribuciones y que S tiene soporte compacto. Entonces los mapas lineales
son continuos. Las transposiciones de estos mapas,
son consecuentemente continuas y se puede mostrar que
- [44]
Este valor común se llama la convolución de S y T y es una distribución que se denota por o Satisface [44] Si S y T son dos distribuciones, al menos una de las cuales tiene soporte compacto, entonces para cualquier [44] Si T es una distribución en y si es una medida de Dirac entonces[44]
Supongamos que es T el que tiene soporte compacto. Para considera la función
Se puede demostrar fácilmente que esto define una función uniforme de x , que además tiene un soporte compacto. La convolución de S y T está definida por
Esto generaliza la noción clásica de convolución de funciones y es compatible con la diferenciación en el siguiente sentido: para cada multi-índice α ,
La convolución de un número finito de distribuciones, todas las cuales (excepto posiblemente una) tienen soporte compacto, es asociativa . [44]
Esta definición de convolución sigue siendo válida bajo supuestos menos restrictivos sobre S y T . [48]
La convolución de distribuciones con soporte compacto induce un mapa bilineal continuo definido por dónde denota el espacio de distribuciones con soporte compacto. [14] Sin embargo, el mapa de convolución como funciónno es continuo [14] aunque es continuo por separado. [49] Los mapas de convolución y dada por ambos fallan en ser continuos. [14] Cada uno de estos mapas no continuos es, sin embargo, continuo e hipocontinuo por separado . [14]
Convolución versus multiplicación
En general, se requiere regularidad para los productos de multiplicación y localidad para los productos de convolución. Se expresa en la siguiente extensión del Teorema de convolución que garantiza la existencia de productos tanto de convolución como de multiplicación. Dejar ser una distribución templada rápidamente decreciente o, de manera equivalente, ser una función ordinaria (de crecimiento lento, suave) dentro del espacio de distribuciones templadas y dejar ser la transformada de Fourier normalizada (frecuencia unitaria, ordinaria) [50] entonces, según Schwartz (1951) ,
mantener dentro del espacio de distribuciones templadas. [51] [52] [53] En particular, estas ecuaciones se convierten en la fórmula de suma de Poisson sies el peine de Dirac . [54] El espacio de todas las distribuciones templadas que disminuyen rápidamente también se denomina espacio de operadores de convolución. y el espacio de todas las funciones ordinarias dentro del espacio de distribuciones templadas también se denomina espacio de operadores de multiplicación Más generalmente, y [55] [56] Un caso particular es el Teorema de Paley-Wiener-Schwartz que establece que y Esto es porque y En otras palabras, distribuciones templadas con soporte compacto pertenecen al espacio de los operadores de convolución y funciones de Paley-Wiener más conocidas como funciones de banda limitada , pertenecen al espacio de los operadores de multiplicación [57]
Por ejemplo, deja sé el peine de Dirac y sé el delta de Dirac entonceses la función que es constantemente una y ambas ecuaciones producen la identidad de peine de Dirac . Otro ejemplo es dejar sé el peine de Dirac y ser la función rectangular entonceses la función sinc y ambas ecuaciones producen el Teorema de muestreo clásico parafunciones. De manera más general, si es el peine de Dirac y es una función de ventana suave ( función de Schwartz ), por ejemplo, la gaussiana , luegoes otra función de ventana suave (función de Schwartz). Se les conoce como atenuadores , especialmente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , o como regularizadores en física porque permiten convertir funciones generalizadas en funciones regulares .
Producto tensorial de distribuciones
Dejar y Ser conjuntos abiertos. Suponga que todos los espacios vectoriales están sobre el campo. dónde o Para definimos la siguiente familia de funciones:
Dado y definimos las siguientes funciones:
Tenga en cuenta que y Ahora definimos los siguientes mapas lineales continuos asociados a y :
Además, si cualquiera (resp. ) tiene soporte compacto, entonces también induce un mapa lineal continuo de (resp. ). [58]
Teorema de Fubini para distribuciones [58] - Sea y Para cada tenemos:
Definición. El producto tensorial de y denotado por o es una distribución en y está definido por: [58]
Teorema del núcleo de Schwartz
El producto tensorial define un mapa bilineal
el intervalo del rango de este mapa es un subespacio denso de su codominio. Además,[58] Además induce mapas bilineales continuos:
dónde denota el espacio de distribuciones con soporte compacto y es el espacio de Schwartz de funciones rápidamente decrecientes. [14]
Teorema del núcleo de Schwartz [59] - Tenemos isomorfismos TVS canónicos:
Aquí representa la terminación del producto tensorial inyectivo (que en este caso es idéntica a la terminación del producto tensorial proyectivo , ya que estos espacios son nucleares ) ytiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos delimitados .
Este resultado no es válido para espacios de Hilbert comoy su doble espacio. [60] ¿Por qué este resultado es válido para el espacio de distribuciones y funciones de prueba, pero no para otros espacios "agradables" como el espacio de Hilbert?? Esta pregunta dirigida Alexander Grothendieck para descubrir espacios nucleares , mapas nucleares , y el producto de tensor inyectiva . Finalmente demostró que es precisamente porquees un espacio nuclear que sostiene el teorema del núcleo de Schwartz .
Espacios de distribuciones
Para todo 0 < k <∞ y todo 1 < p <∞ , todas las siguientes inyecciones canónicas son continuas y tienen un rango que es denso en su codominio:
donde las topologías en () se definen como límites directos de los espacios de una manera análoga a cómo las topologías en se definieron (por lo que, en particular, no son las topologías de norma habituales). El rango de cada uno de los mapas anteriores (y de cualquier composición de los mapas anteriores) es denso en el codominio. En efecto,es incluso secuencialmente denso en cada[28] Todas las inyecciones canónicas () son continuos y el rango de esta inyección es denso en el codominio si y solo si (aquí tiene su topología de norma habitual ). [61]
Suponer que es uno de los espacios () o () o (). Desde la inyección canónicaes una inyección continua cuya imagen es densa en el codominio, la transposición es una inyección continua. Esta transposición, por tanto, nos permite identificarcon un cierto subespacio vectorial del espacio de distribuciones. Este mapa de transposición no es necesariamente una incrustación de TVS, por lo que la topología que este mapa transfiere a la imagen es más fina que la topología del subespacio que este espacio hereda de Un subespacio lineal de llevando una topología localmente convexa que es más fina que la topología subespacial inducida por se llama un espacio de distribuciones . [61] Casi todos los espacios de distribuciones mencionados en este artículo surgen de esta manera (por ejemplo, distribución templada, restricciones, distribuciones de orden algunos enteros, distribuciones inducidas por una medida de radón positiva, distribuciones inducidas por una -función, etc.) y cualquier teorema de representación sobre el espacio dual de X puede, a través de la transposición ser transferido directamente a elementos del espacio
Medidas de radón
La inclusión natural es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición también es una inyección continua.
Tenga en cuenta que el espacio dual continuo se puede identificar como el espacio de medidas de radón , donde hay una correspondencia uno a uno entre los funcionales lineales continuose integral con respecto a una medida de radón; es decir,
- Si entonces existe una medida de radón en U tal que para todos y
- Si es una medida de radón en U, luego el funcional lineal en definido por es continuo.
A través de la inyección cada medida de Radon se convierte en una distribución en U . Sies una función localmente integrable en U, entonces la distribuciónes una medida de radón; por lo que las medidas de radón forman un gran e importante espacio de distribuciones.
El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de medidas de radón , que muestra que cada medida de radón se puede escribir como una suma de derivadas de localmentefunciones en U :
Teorema. [34] - Supongamos es una medida de radón, es una vecindad del soporte de T , y Existe una familia de local funciona en U tal que
- Medidas positivas de radón
Una función lineal T en un espacio de funciones se llama positiva si siempre que una funciónque pertenece al dominio de T no es negativo (es decir es de valor real y ) luego Se puede mostrar que todo funcional lineal positivo en es necesariamente continuo (es decir, necesariamente una medida de radón). [62] Tenga en cuenta que la medida de Lebesgue es un ejemplo de medida positiva de radón.
Funciones integrables localmente como distribuciones
Una clase particularmente importante de medidas de radón son las que son funciones inducidas localmente integrables. La funciónse llama localmente integrable si es Lebesgue integrable sobre cada subconjunto compacto K de U . [nota 18] Esta es una gran clase de funciones que incluye todas las funciones continuas y todas las funciones L p . La topología en se define de tal manera que cualquier función integrable localmente produce un funcional lineal continuo en - es decir, un elemento de - denotado aquí por T f , cuyo valor en la función de prueba viene dada por la integral de Lebesgue:
Convencionalmente, se abusa de la notación identificando T f consiempre que no pueda surgir confusión y, por lo tanto, el emparejamiento entre T f y a menudo se escribe
Si y g son dos funciones localmente integrables, entonces las distribuciones asociadas T f y T g son iguales al mismo elemento de si y solo si y g son iguales en casi todas partes (véase, por ejemplo, Hörmander (1983 , Teorema 1.2.5)). De manera similar, cada medida de radón en U define un elemento de cuyo valor en la función de prueba es Como se indicó anteriormente, es convencional abusar de la notación y escribir el emparejamiento entre una medida de radón y una función de prueba como A la inversa, como se muestra en un teorema de Schwartz (similar al teorema de representación de Riesz ), toda distribución que no sea negativa en funciones no negativas tiene esta forma para alguna medida de radón (positiva).
- Funciones de prueba como distribuciones
Las funciones de prueba son en sí mismas integrables localmente y, por tanto, definen distribuciones. El espacio de las funciones de pruebaes secuencialmente denso en con respecto a la topología fuerte en [29] Esto significa que para cualquier hay una secuencia de funciones de prueba, que converge a (en su fuerte topología dual) cuando se considera como una secuencia de distribuciones. O equivalente,
Además, también es secuencialmente denso en el fuerte espacio dual de [29]
Distribuciones con soporte compacto
La inclusión natural es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición también es una inyección continua. Así, la imagen de la transposición, denotada por forma un espacio de distribuciones cuando está dotado de la fuerte topología dual de (transferido a él a través del mapa de transposición entonces la topología de es más fina que la topología subespacial que este conjunto hereda de ). [31]
Los elementos de Se puede identificar como el espacio de distribuciones con soporte compacto. [31] Explícitamente, si T es una distribución en U , las siguientes son equivalentes,
- ;
- el soporte de T es compacto;
- la restricción de a cuando ese espacio está equipado con la topología subespacial heredada de (una topología más tosca que la topología LF canónica), es continua; [31]
- hay un subconjunto compacto K de U tal que para cada función de pruebacuyo apoyo está completamente fuera de K , tenemos
Las distribuciones con soporte compacto definen funcionales lineales continuos en el espacio ; recuerde que la topología en se define de tal manera que una secuencia de funciones de prueba converge a 0 si y solo si todas las derivadas de convergen uniformemente a 0 en cada subconjunto compacto de U . Por el contrario, se puede demostrar que cada funcional lineal continuo en este espacio define una distribución de soporte compacto. Por lo tanto, las distribuciones con soporte compacto se pueden identificar con aquellas distribuciones que se pueden extender desde a
Distribuciones de orden finito
Dejar La inclusión natural es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición también es una inyección continua. En consecuencia, la imagen de denotado por forma un espacio de distribuciones cuando está dotado de la fuerte topología dual de (transferido a él a través del mapa de transposición entonces La topología es más fina que la topología del subespacio que este conjunto hereda de ). Los elementos deson las distribuciones de orden ≤ k . [34] Las distribuciones de orden ≤ 0, que también se denominan distribuciones de orden 0 , son exactamente las distribuciones que son medidas de radón (descritas anteriormente).
Para una distribución de orden k es una distribución de orden ≤ k que no es una distribución de orden ≤ k - 1 . [34]
Se dice que una distribución es de orden finito si hay algún entero k tal que sea una distribución de orden ≤ k , y el conjunto de distribuciones de orden finito se denota porTenga en cuenta que si k ≤ l entonces así que eso es un subespacio vectorial de y además, si y solo si [34]
- Estructura de distribuciones de orden finito
Toda distribución con soporte compacto en U es una distribución de orden finito. [34] De hecho, toda distribución en U es localmente una distribución de orden finito, en el siguiente sentido: [34] Si V es un subconjunto abierto y relativamente compacto de U y sies el mapeo de restricción de U a V , luego la imagen de debajo está contenido en
El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de orden finito, que muestra que toda distribución de orden finito se puede escribir como una suma de derivadas de medidas de radón :
- Teorema. [34] Supongamos tiene orden finito ≤ k y Dado cualquier subconjunto abierto V de U que contenga el soporte de T , hay una familia de medidas de radón en U , tal que por muy y
Ejemplo. (Distribuciones de orden infinito) Sea U : = (0, ∞) y para cada función de prueba dejar
Entonces S es una distribución de orden infinito en U . Además, S no se puede extender a una distribución en; es decir, no existe una distribución T ental que la restricción de T a T es igual a T . [63]
Distribuciones templadas y transformada de Fourier
A continuación se definen las distribuciones templadas , que forman un subespacio de el espacio de distribuciones en Este es un subespacio adecuado: mientras que toda distribución templada es una distribución y un elemento de lo contrario no es cierto. Las distribuciones templadas son útiles si se estudia la transformada de Fourier ya que todas las distribuciones templadas tienen una transformada de Fourier, lo cual no es cierto para una distribución arbitraria en
- Espacio Schwartz
El espacio Schwartz ,es el espacio de todas las funciones suaves que disminuyen rápidamente en el infinito junto con todas las derivadas parciales. Por lo tanto está en el espacio de Schwartz siempre que cualquier derivado de multiplicado por cualquier poder de | x |, converge a 0 cuando | x | → ∞ . Estas funciones forman un TVS completo con una familia de seminormas adecuadamente definida . Más precisamente, para cualquier multiíndice y definir:
Luego está en el espacio de Schwartz si todos los valores satisfacen:
La familia de seminormas p α , β define una topología localmente convexa en el espacio de Schwartz. Para n = 1, las seminormas son, de hecho, normas en el espacio de Schwartz. También se puede utilizar la siguiente familia de seminormales para definir la topología: [64]
De lo contrario, se puede definir una norma sobre vía
El espacio de Schwartz es un espacio de Fréchet (es decir, un espacio completamente convexo localmente metrizable ). Porque la transformada de Fourier cambia en multiplicación por y viceversa, esta simetría implica que la transformada de Fourier de una función de Schwartz también es una función de Schwartz.
Una secuencia en converge a 0 en si y solo si las funciones convergen a 0 uniformemente en el conjunto de lo que implica que tal secuencia debe converger a cero en [64]
es denso en El subconjunto de todas las funciones analíticas de Schwartz es denso en también. [sesenta y cinco]
El espacio de Schwartz es nuclear y el producto tensorial de dos mapas induce un TVS-isomorfismos sobreyectivos canónicos
dónde representa la finalización del producto tensorial inyectivo (que en este caso es idéntico a la finalización del producto tensorial proyectivo ). [59]
- Distribuciones templadas
La inclusión natural es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición también es una inyección continua. Así, la imagen del mapa de transposición, denotada por forma un espacio de distribuciones cuando está dotado de la fuerte topología dual de (transferido a él a través del mapa de transposición entonces la topología de es más fina que la topología subespacial que este conjunto hereda de ).
El espacio se llama el espacio de > distribuciones templado es que es la continua doble del espacio de Schwartz. De manera equivalente, una distribución T es una distribución templada si y solo si
La derivada de una distribución templada es nuevamente una distribución templada. Las distribuciones templadas generalizan las funciones integrables localmente limitadas (o de crecimiento lento); todas las distribuciones con soporte compacto y todas las funciones integrables en cuadrado son distribuciones templadas. De manera más general, todas las funciones que son productos de polinomios con elementos de L pag ( R norte ) {\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})} para p ≥ 1 son distribuciones templadas.
Las distribuciones templadas también se pueden caracterizar como de crecimiento lento , lo que significa que cada derivada de T crece como máximo tan rápido como algún polinomio . Esta caracterización es dual al comportamiento de rápida caída de las derivadas de una función en el espacio de Schwartz, donde cada derivada dedecae más rápido que cada potencia inversa de | x | . Un ejemplo de una función que cae rápidamente espara cualquier n , λ , β positivo .
- Transformada de Fourier
Para estudiar la transformada de Fourier, es mejor considerar funciones de prueba de valores complejos y distribuciones lineales complejas. La transformada de Fourier continua ordinaria es un automorfismo TVS del espacio de Schwartz, y la transformada de Fourier se define como su transposición que (notación abusar) de nuevo se denota por F . Entonces, la transformada de Fourier de la distribución templada T está definida por ( FT ) ( ψ ) = T ( Fψ ) para cada función de Schwartz ψ . Por tanto, FT es de nuevo una distribución templada. La transformada de Fourier es un isomorfismo TVS del espacio de distribuciones templadas sobre sí mismo. Esta operación es compatible con la diferenciación en el sentido de que
y también con convolución: si T es una distribución templada y ψ es una función suave que aumenta lentamente en ψT es de nuevo una distribución templada y
es la convolución de FT y Fψ . En particular, la transformada de Fourier de la función constante igual a 1 es la distribución δ .
- Expresando distribuciones templadas como sumas de derivadas
Si es una distribución templada, entonces existe una constante C > 0 , y enteros positivos M y N tales que para todas las funciones de Schwartz
Esta estimación, junto con algunas técnicas de análisis funcional, se puede utilizar para mostrar que hay una función F continua que aumenta lentamente y un índice múltiple α tal que
Restricción de distribuciones a conjuntos compactos
Si luego para cualquier conjunto compacto existe una función continua F soportada de forma compacta en(posiblemente en un conjunto más grande que el propio K ) y un índice múltiple α tal que en
Usar funciones holomórficas como funciones de prueba
El éxito de la teoría llevó a la investigación de la idea de hiperfunción , en la que los espacios de funciones holomórficas se utilizan como funciones de prueba. Una teoría refinado ha sido desarrollado, en particular, Mikio Sato 's análisis algebraico , utilizando la teoría de haces y varias variables complejas . Esto amplía la gama de métodos simbólicos que se pueden convertir en matemáticas rigurosas, por ejemplo, integrales de Feynman .
Ver también
- Álgebra de Colombeau
- Actual (matemáticas)
- Distribución (teoría de números)
- Distribución en un grupo algebraico lineal
- Gelfand triple
- Función generalizada
- Distribución homogénea
- Hiperfunción
- Laplaciano del indicador
- Límite de una distribución
- Forma lineal
- Teorema de Malgrange-Ehrenpreis
- Operador pseudodiferencial
- Teorema de representación de Riesz
- Topología vaga
- Solución débil
Notas
- ^ resulta también lineal y continuo cuando al espacio de las funciones de prueba se le da una cierta topología llamada topología LF canónica .
- ^ El espacio de Schwartz consta de funciones de prueba suaves que disminuyen rápidamente, donde "disminuir rápidamente" significa que la función disminuye más rápido que cualquier polinomio aumenta a medida que los puntos de su dominio se alejan del origen.
- ^ Excepto por lo trivial (es decir, idénticamente) mapa, que por supuesto siempre es analítico.
- ^ Tenga en cuenta que i siendo un número entero implica Esto a veces se expresa como Desde la desigualdad "" medio: Si mientras que si entonces significa
- ^ La imagen del conjunto compacto bajo un continuo -mapa valorado (p. ej. por ) es en sí mismo un subconjunto compacto , y por tanto limitado, de Si entonces esto implica que cada una de las funciones definidas anteriormente es -valuado (es decir, ninguno de los supremums anteriores es igual a).
- ^ Si tomamospara ser el conjunto de todos los subconjuntos compactos de U, entonces podemos usar la propiedad universal de los límites directos para concluir que la inclusión es un continuo e incluso que son incrustaciones topológicas para cada subconjunto compacto Sin embargo, si tomamos para ser el conjunto de cierres de alguna secuencia creciente contable de subconjuntos abiertos relativamente compactos de U que tienen todas las propiedades mencionadas anteriormente en este artículo, inmediatamente deducimos quees un espacio LF estricto localmente convexo de Hausdorff (e incluso un espacio LB estricto cuando). Todos estos hechos también se pueden probar directamente sin utilizar sistemas directos (aunque con más trabajo).
- ^ Para cualquier TVS X ( metrizable o no), la noción de completitud depende enteramente de una cierta " uniformidad canónica" que se define utilizando solo la operación de resta (ver el artículo Espacio vectorial topológico completo para más detalles). De esta forma, la noción de un TVS completo no requiere la existencia de ninguna métrica . Sin embargo, si el TVS X es metrizable y si d es cualquier métrica invariante de traducción en X que define su topología, entonces X está completo como un TVS (es decir, es un espacio uniforme completo bajo su uniformidad canónica) si y solo sies un espacio métrico completo . Entonces, si un TVS X tiene una topología que se puede definir mediante dicha métrica d, entonces d puede usarse para deducir la completitud de X, pero la existencia de dicha métrica no es necesaria para definir la completitud e incluso es posible deducir que un TVS metrizable está completo sin siquiera considerar una métrica (por ejemplo, dado que el producto cartesiano de cualquier colección de TVS completos es nuevamente un TVS completo, podemos deducir inmediatamente que el TVSque resulta ser metrizable, es un completo TVS; tenga en cuenta que no hay necesidad de considerar ninguna métrica en).
- ^ Una razón para dar la topología LF canónica se debe a que es con esta topología que y su espacio dual continuo se convierten en espacios nucleares, que tienen muchas propiedades agradables y que pueden verse como una generalización de espacios de dimensión finita (en comparación, los espacios normativos son otra generalización de espacios de dimensión finita que tienen muchas propiedades "agradables") . Más detalladamente, hay dos clases de espacios vectoriales topológicos (TVS) que son particularmente similares a los espacios euclidianos de dimensión finita : los espacios de Banach (especialmente los espacios de Hilbert ) y los espacios nucleares de Montel . Los espacios de Montel son una clase de TVS en la que cada subconjunto cerrado y acotado es compacto (esto generaliza el teorema de Heine-Borel ), que es una propiedad que ningún espacio de Banach de dimensión infinita puede tener; es decir, ningún TVS de dimensión infinita puede ser tanto un espacio de Banach como un espacio de Montel. Además, ningún TVS de dimensión infinita puede ser tanto un espacio de Banach como un espacio nuclear. Todos los espacios euclidianos de dimensión finita son espacios nucleares de Montel Hilbert, pero una vez que uno entra en el espacio de dimensión infinita, estas dos clases se separan. Espacios nucleares en particular, tienen muchas de las propiedades "buenos" de TVSS de dimensión finita (por ejemplo, el Schwartz kernel teorema ) que los espacios de dimensión infinita de Banach carecen (para más detalles, ver las propiedades, condiciones suficientes, y caracterizaciones que figuran en el artículo Nuclear espacio ). Es en este sentido que los espacios nucleares son una "generalización alternativa" de los espacios de dimensión finita. Además, como regla general, en la práctica, la mayoría de los televisores "que ocurren naturalmente" suelen ser espacios de Banach o espacios nucleares. Por lo general, la mayoría de los televisores asociados con la suavidad (es decir, una diferenciación infinita , como y ) terminan siendo televisores nucleares, mientras que los televisores asociados con una diferenciabilidad continua finita (comocon K compact y) a menudo terminan siendo espacios no nucleares, como los espacios de Banach.
- ^ Aunque la topología de no es metrizable, un funcional lineal en es continuo si y solo si es secuencialmente continuo.
- ^ a b Una secuencia nula es una secuencia que converge al origen.
- ^ a b Una secuenciase dice que es Mackey convergente a 0 en si existe una secuencia divergente de número real positivo tal que es un conjunto acotado en
- ^ Sitambién se dirige bajo la comparación de funciones habituales, entonces podemos considerar que la colección finita consta de un solo elemento.
- ^ En el análisis funcional , la topología dual fuerte es a menudo la topología "estándar" o "predeterminada" colocada en el espacio dual continuodonde si X es un espacio normado, entonces esta fuerte topología dual es la misma que la topología inducida por norma habitual en
- ^ Técnicamente, la topología debe ser más burda que la topología dual fuerte y al mismo tiempo ser más fina que la topología débil * .
- ^ Recuerde que un mapa lineal está acotado si y solo si asigna secuencias nulas a secuencias acotadas.
- ^ Este enfoque también funciona para asignaciones no lineales, siempre que se asuma que son uniformemente continuas .
- ^ Por ejemplo, dejemos y tomar para ser la derivada ordinaria para funciones de una variable real y asumir el apoyo de estar contenido en el intervalo finito entonces desde
- ^ Para obtener más información sobre dicha clase de funciones, consulte la entrada sobre funciones integrables localmente .
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- ^ Véase, por ejemplo, Hörmander 1983 , Teorema 6.1.1.
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- ^ Véase, por ejemplo, Rudin 1991 , §6.29.
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