En matemáticas , una medida regular en un espacio topológico es una medida para la cual cada conjunto mensurable puede aproximarse desde arriba mediante conjuntos mensurables abiertos y desde abajo mediante conjuntos mensurables compactos.
Definición
Sea ( X , T ) un espacio topológico y dejar que sea un Σ σ-álgebra sobre X . Sea μ una medida en ( X , Σ). Se dice que un subconjunto medible A de X es interno regular si
y se dice que es externo regular si
- Una medida se llama regular interno si cada conjunto medible es regular interno. Algunos autores usan una definición diferente: una medida se llama regular interno si cada conjunto medible abierto es regular interno.
- Una medida se llama regular externa si cada conjunto medible es regular externo.
- Una medida se llama regular si es regular externa e interna regular.
Ejemplos de
Medidas regulares
- La medida de Lebesgue en la línea real es una medida regular: consulte el teorema de regularidad para la medida de Lebesgue .
- Cualquier medida de probabilidad de Baire en cualquier espacio de Hausdorff σ-compacto localmente compacto es una medida regular.
- Cualquier medida de probabilidad de Borel en un espacio de Hausdorff localmente compacto con una base contable para su topología, o espacio métrico compacto, o espacio Radon , es regular.
Medidas regulares internas que no son regulares externas
- Un ejemplo de una medida en la línea real con su topología habitual que no es regular exterior es la medida μ donde, , y para cualquier otro conjunto .
- La medida de Borel en el plano que asigna a cualquier conjunto de Borel la suma de las medidas (unidimensionales) de sus secciones horizontales es regular interna pero no regular externa, ya que todo conjunto abierto no vacío tiene una medida infinita. Una variación de este ejemplo es una unión disjunta de un número incontable de copias de la línea real con la medida de Lebesgue.
- Bourbaki (2004 , ejercicio 5 de la sección 1) da un ejemplo de una medida de Borel μ en un espacio de Hausdorff localmente compacto que es regular interno, σ-finito y localmente finito pero no regular externo . como sigue. El espacio topológico X tiene como conjunto subyacente el subconjunto del plano real dado por el eje y de los puntos (0, y ) junto con los puntos (1 / n , m / n 2 ) con m , n enteros positivos. La topología se proporciona de la siguiente manera. Los puntos únicos (1 / n , m / n 2 ) son todos conjuntos abiertos. Una base de vecindades del punto (0, y ) viene dada por cuñas que constan de todos los puntos en X de la forma ( u , v ) con | v - y | ≤ | u | ≤ 1 / n para un número entero positivo n . Este espacio X es localmente compacto. La medida μ se obtiene dejando que el eje y tenga una medida de 0 y que el punto (1 / n , m / n 2 ) tenga una medida de 1 / n 3 . Esta medida es regular interna y localmente finita, pero no es regular externa, ya que cualquier conjunto abierto que contenga el eje y tiene una medida infinita.
Medidas regulares externas que no son regulares internas
- Si μ es la medida regular interna en el ejemplo anterior, y M es la medida dada por M ( S ) = inf U ⊇ S μ ( U ) donde inf se toma sobre todos los conjuntos abiertos que contienen el conjunto Borel S , entonces M es una medida de Borel localmente finita regular externa en un espacio de Hausdorff localmente compacto que no es regular interno en el sentido fuerte, aunque todos los conjuntos abiertos son regulares internos, por lo que es regular interno en el sentido débil. Las medidas M y μ coinciden en todos los conjuntos abiertos, todos los conjuntos compactos y todos los conjuntos en los que M tiene medida finita. El eje y tiene una medida M infinita, aunque todos los subconjuntos compactos tienen medida 0.
- Un cardinal medible con la topología discreta tiene una medida de probabilidad de Borel tal que cada subconjunto compacto tiene la medida 0, por lo que esta medida es regular externa pero no regular interna. La existencia de cardinales medibles no se puede probar en la teoría de conjuntos ZF, pero (a partir de 2013) se cree que es consistente con ella.
Medidas que no son ni internas ni externas regulares
- El espacio de todos los ordinales como máximo igual al primer ordinal incontable Ω, con la topología generada por intervalos abiertos, es un espacio compacto de Hausdorff. La medida que asigna la medida 1 a los conjuntos de Borel que contienen un subconjunto cerrado ilimitado de los ordinales contables y asigna 0 a otros conjuntos de Borel es una medida de probabilidad de Borel que no es regular interna ni regular externa.
Ver también
Referencias
- Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
- Parthasarathy, KR (2005). Medidas de probabilidad en espacios métricos . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. pag. xii + 276. ISBN 0-8218-3889-X. SEÑOR2169627 (Ver capítulo 2)
- Dudley, RM (1989). Análisis real y probabilidad . Chapman y Hall.