En la teoría de la probabilidad , la probabilidad condicional regular es un concepto que formaliza la noción de condicionamiento sobre el resultado de una variable aleatoria . La distribución de probabilidad condicional resultante es una familia parametrizada de medidas de probabilidad llamada núcleo de Markov .
Definición
Distribución de probabilidad condicional
Considere dos variables aleatorias . La distribución de probabilidad condicional de Y dado X es una función de dos variables
Si la variable aleatoria X es discreta
Si las variables aleatorias X , Y son continuas con densidad.
Se puede dar una definición más general en términos de expectativa condicional . Considere una función satisfactorio
para casi todos . Entonces la distribución de probabilidad condicional viene dada por
Al igual que con la expectativa condicional, esto se puede generalizar aún más al condicionamiento en un álgebra sigma . En ese caso, la distribución condicional es una función:
Regularidad
Para trabajar con , es importante que sea regular , es decir:
- Para casi todos los x , es una medida de probabilidad
- Para todo A , es una función medible
En otras palabras es un núcleo de Markov .
La primera condición es trivial, pero la prueba de la segunda es más complicada. Se puede demostrar que si Y es un elemento aleatorioen un espacio de Radon S , existe unque satisfaga la condición de mensurabilidad. [1] Es posible construir espacios más generales donde no existe una distribución de probabilidad condicional regular. [2]
Relación con la expectativa condicional
En la teoría de la probabilidad, la teoría de la expectativa condicional se desarrolla antes que la de las distribuciones condicionales regulares. [3]
Para variables aleatorias discretas y continuas, la expectativa condicional se puede expresar como
dónde es la densidad condicional de Y dado X .
Este resultado se puede ampliar para medir la expectativa condicional teórica utilizando la distribución de probabilidad condicional regular:
- .
Definicion formal
Dejar ser un espacio de probabilidad , y seaser una variable aleatoria , definida como una función medible de Borel a partir dea su espacio de estado . Uno debería pensar en como una forma de "desintegrar" el espacio muestral dentro . Usando el teorema de la desintegración de la teoría de la medida, nos permite "desintegrar" la medida en una colección de medidas, una para cada . Formalmente, una probabilidad condicional regular se define como una función llamada "probabilidad de transición", donde:
- Para cada , es una medida de probabilidad en . Por lo tanto, proporcionamos una medida para cada.
- Para todos , (un mapeo ) es -medible y
- Para todos y todo [4]
dónde es la medida de avance de la distribución del elemento aleatorio , es decir, el apoyo de la. Específicamente, si tomamos, luego , y entonces
- ,
dónde se puede denotar, usando términos más familiares .
Definición alternativa
Considere un espacio de Radon (que es una medida de probabilidad definida en un espacio de Radon dotado de la Borel sigma-álgebra) y una variable aleatoria de valor real T . Como se discutió anteriormente, en este caso existe una probabilidad condicional regular con respecto a T . Además, podemos definir alternativamente la probabilidad condicional regular para un evento A dado un valor particular t de la variable aleatoria T de la siguiente manera:
donde el límite se toma sobre la red de vecindarios abiertos U de t a medida que se hacen más pequeños con respecto a la inclusión de conjuntos . Este límite se define si y solo si el espacio de probabilidad es Radon , y solo en el soporte de T , como se describe en el artículo. Esta es la restricción de la probabilidad de transición para el apoyo de T . Para describir rigurosamente este proceso limitante:
Para cada existe una vecindad abierta U del evento { T = t }, tal que para cada V abierta con
dónde es el límite.
Ver también
Referencias
- ^ Klenke, Achim. Teoría de la probabilidad: un curso integral (Segunda ed.). Londres. ISBN 978-1-4471-5361-0.
- ^ Faden, AM, 1985. La existencia de probabilidades condicionales regulares: condiciones necesarias y suficientes. The Annals of Probability , 13 (1), páginas 288-298.
- ^ Durrett, Richard (2010). Probabilidad: teoría y ejemplos (4ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521765398.
- ^ D. Leao Jr. y col. Probabilidad condicional regular, desintegración de probabilidad y espacios de radón. Proyecciones. Vol. 23, No. 1, págs. 15–29, mayo de 2004, Universidad Católica del Norte, Antofagasta, Chile PDF