En el espacio tridimensional, un regulus R es un conjunto de líneas oblicuas , cada punto de las cuales está en una transversal que interseca a un elemento de R solo una vez, y tal que cada punto de una transversal se encuentra en una línea de R
El conjunto de transversales de R forma un frente regulus S . En ℝ 3 la unión R ∪ S es la superficie reglada de un hiperboloide de una hoja .
Tres líneas oblicuas determinan un regulus:
- El lugar de las líneas que se encuentran con tres líneas oblicuas dadas se llama regulus . El teorema de Gallucci muestra que las líneas que se encuentran con los generadores del regulus (incluidas las tres líneas originales) forman otro regulus "asociado", de modo que cada generador de cualquiera de los regulus se encuentra con cada generador del otro. Los dos reguli son los dos sistemas de generadores de un cuadriculado reglado . [1]
Según Charlotte Scott , "El regulus proporciona demostraciones extremadamente simples de las propiedades de una cónica ... los teoremas de Chasles, Brianchon y Pascal ..." [2]
En una geometría finita PG (3, q ), un regulus tiene q + 1 líneas. [3] Por ejemplo, en 1954 William Edge describió un par de reguli de cuatro líneas cada uno en PG (3,3). [4]
Robert JT Bell describió cómo el regulus se genera mediante una línea recta en movimiento. Primero, el hiperboloide se factoriza como
Entonces dos sistemas de líneas, parametrizados por λ y μ satisfacen esta ecuación:
- y
Ningún miembro del primer conjunto de líneas es miembro del segundo. A medida que varía λ o μ, se genera el hiperboloide. Los dos conjuntos representan un regulus y su opuesto. Utilizando geometría analítica , Bell demuestra que no hay dos generadores en un conjunto que se crucen, y que dos generadores cualesquiera en regulos opuestos se cruzan y forman el plano tangente al hiperboloide en ese punto. (página 155). [5]
Ver también
Referencias
- ^ HSM Coxeter (1969) Introducción a la geometría , página 259, John Wiley & Sons
- ↑ Charlotte Angas Scott (1905) El tratamiento elemental de las cónicas por medio del regulus , Boletín de la American Mathematical Society 12 (1): 1-7
- ^ Albrecht Beutelspacher y Ute Rosenbaum (1998) Geometría proyectiva , página 72, Cambridge University Press ISBN 0-521-48277-1
- ^ WL Edge (1954) "Geometría de tres dimensiones sobre GF (3)", Actas de la Royal Society A 222: 262–86 doi : 10.1098 / rspa.1954.0068
- ^ Robert JT Bell (1910) Un tratado elemental sobre geometría coordinada de tres dimensiones , página 148, a través de Internet Archive
- HG Forder (1950) Geometry , página 118, Biblioteca de la Universidad de Hutchinson.