Esquema axiomático de reemplazo

En la teoría de conjuntos , el esquema de axioma de reemplazo es un esquema de axiomas en la teoría de conjuntos (ZF) de Zermelo-Fraenkel que afirma que la imagen de cualquier conjunto bajo cualquier mapeo definible también es un conjunto. Es necesario para la construcción de ciertos conjuntos infinitos en ZF.

El esquema de axioma está motivado por la idea de que si una clase es un conjunto depende solo de la cardinalidad de la clase, no del rango de sus elementos. Por lo tanto, si una clase es "lo suficientemente pequeña" para ser un conjunto, y hay una sobreyección de esa clase a una segunda clase, el axioma establece que la segunda clase también es un conjunto. Sin embargo, debido a que ZFC solo habla de conjuntos, no de clases adecuadas, el esquema se establece solo para las sobreyecciones definibles, que se identifican con sus fórmulas definitorias .

Supongamos que hay una relación binaria definible (que puede ser una clase adecuada ) tal que para cada conjunto hay un conjunto único tal que se cumple. Hay una función definible correspondiente , donde si y solo si . Considere la clase (posiblemente adecuada) definida de tal manera que para cada conjunto , si y solo si hay un con . se llama la imagen de under , y se denota o (usando la notación del constructor de conjuntos ) .${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle P (x, y)}$${\ Displaystyle F_ {P}}$${\ Displaystyle F_ {P} (x) = y}$ ${\ Displaystyle P (x, y)}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle y \ in B}$${\ Displaystyle x \ in A}$${\ Displaystyle F_ {P} (x) = y}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle F_ {P}}$${\ Displaystyle F_ {P} [A]}$${\ Displaystyle \ {F_ {P} (x): x \ in A \}}$

El esquema de axioma de reemplazo establece que si es una función de clase definible, como arriba, y es cualquier conjunto, entonces la imagen también es un conjunto. Esto puede verse como un principio de pequeñez: el axioma establece que si es lo suficientemente pequeño para ser un conjunto, entonces también es lo suficientemente pequeño para ser un conjunto. Está implícito en el axioma más fuerte de limitación de tamaño .${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle F [A]}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle F [A]}$

Esquema de axioma de reemplazo: la imagen del dominio establecido bajo la función de clase definible es en sí misma un conjunto ,.${\ Displaystyle F [A]}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle B}$

Esquema de axioma de colección: la imagen del dominio establecido bajo la función de clase definible cae dentro de un conjunto .${\ Displaystyle f [A]}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle B}$

Abraham Fraenkel, entre 1939 y 1949

Thoralf Skolem, en la década de 1930