Teoría de la representación de SU (2)

First case of a Lie group that is both compact and non-abelian

En el estudio de la teoría de la representación de los grupos de Lie , el estudio de las representaciones de SU (2) es fundamental para el estudio de las representaciones de los grupos de Lie semisimples . Es el primer caso de un grupo de Lie que es tanto un grupo compacto y un grupo no abeliano . La primera condición implica que la teoría de la representación es discreta: las representaciones son sumas directas de una colección de representaciones básicas irreductibles (regidas por el teorema de Peter-Weyl ). El segundo significa que habrá representaciones irreductibles en dimensiones mayores a 1.

SU (2) es el grupo de cobertura universal de SO (3) , por lo que su teoría de representación incluye la de este último, a fuerza de un homomorfismo sobreyectivo con él. Esto subyace en la importancia de SU (2) para la descripción del giro no relativista en la física teórica ; ver más abajo para otro contexto físico e histórico.

Como se muestra a continuación, las representaciones irreducibles de dimensión finita de SU (2) están indexadas por un número entero no negativo y tienen dimensión . En la literatura de física, las representaciones están etiquetadas por la cantidad , donde es un número entero o medio entero, y la dimensión es .${\displaystyle m}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle l=m/2}$${\displaystyle l}$${\displaystyle 2l+1}$

Representaciones de álgebra de mentiras

Ver también: Álgebra de Lie lineal especial § Teoría de la representación

Las representaciones del grupo se encuentran considerando representaciones de su (2), el álgebra de Lie de SU (2) . Dado que el grupo SU (2) está simplemente conectado, cada representación de su álgebra de Lie puede integrarse en una representación de grupo; ^[1] daremos una construcción explícita de las representaciones a nivel de grupo a continuación. Una referencia para este material es la Sección 4.6 del ( Salón 2015 ).

Álgebras de Lie reales y complejas

El álgebra de Lie real su (2) tiene una base dada por

${\displaystyle u_{1}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}\qquad u_{2}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\qquad u_{3}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}~,}$

(Estas matrices base están relacionadas con las matrices de Pauli por y ) ${\displaystyle u_{1}=+i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

Las matrices son una representación de los cuaterniones :

${\displaystyle u_{1}\,u_{1}=-I\,;~~\quad u_{2}\,u_{2}=-I\,;~~\quad u_{3}\,u_{3}=-I\,;}$

${\displaystyle u_{1}\,u_{2}=+u_{3}\,;\quad u_{2}\,u_{3}=+u_{1}\,;\quad u_{3}\,u_{1}=+u_{2}\,;}$

${\displaystyle u_{2}\,u_{1}=-u_{3}\,;\quad u_{3}\,u_{2}=-u_{1}\,;\quad u_{1}\,u_{3}=-u_{2}\,.}$

donde I es la matriz de identidad convencional 2 × 2:${\displaystyle ~~I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,.}$

En consecuencia, los corchetes del conmutador de las matrices satisfacen

${\displaystyle [u_{1},u_{2}]=2u_{3}\,;\quad [u_{2},u_{3}]=2u_{1}\,;\quad [u_{3},u_{1}]=2u_{2}\,.}$

Entonces es conveniente pasar al álgebra de Lie compleja

${\displaystyle \mathrm {su} (2)+i\,\mathrm {su} (2)=\mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$.

(Las matrices autoadjuntas sesgadas con traza cero más las matrices autoadjuntas con traza cero dan todas las matrices con traza cero). Siempre que estemos trabajando con representaciones, este pasaje del álgebra de Lie real a compleja es inofensivo. ^[2] La razón para pasar a la complexificación es que nos permite construir una buena base de un tipo que no existe en el álgebra de Lie real su (2).${\displaystyle \mathbb {C} }$

El álgebra de Lie complejizado es atravesado por tres elementos , y , dada por${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle H={\frac {1}{i}}u_{3};\quad X={\frac {1}{2i}}(u_{1}-iu_{2});\quad Y={\frac {1}{2i}}(u_{1}+iu_{2}),}$

o, explícitamente,

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}};\quad X={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}};\quad Y={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}~.}$

Estos satisfacen las relaciones de conmutación

${\displaystyle [H,X]=2X,\quad [H,Y]=-2Y,\quad [X,Y]=H}$.

Hasta un factor de 2, los elementos , y pueden identificarse con los operadores de momento angular , y , respectivamente. El factor de 2 es una discrepancia entre las convenciones en matemáticas y física; Intentaremos mencionar ambas convenciones en los resultados que siguen.${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle J_{+}}$${\displaystyle J_{-}}$

Pesos y estructura de la representación

En este contexto, los valores propios de se denominan pesos de la representación. El siguiente resultado elemental ^[3] es un paso clave en el análisis. Suponga que es un vector propio para con valor propio , es decir, eso . Luego${\displaystyle H}$${\displaystyle v}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H\cdot v=\alpha v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H\cdot (X\cdot v)&=(\alpha +2)X\cdot v\\[3pt]H\cdot (Y\cdot v)&=(\alpha -2)Y\cdot v\end{aligned}}}$

En otras palabras, es el vector cero o un autovector para con autovalor y es cero o un autovector para con autovalor . Por lo tanto, el operador actúa como un operador de elevación , aumentando el peso en 2, mientras actúa como un operador de descenso . ${\displaystyle X\cdot v}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \alpha +2}$${\displaystyle Y\cdot v}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \alpha -2}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Supongamos ahora que es una representación irreducible de dimensión finita del álgebra de Lie compleja. Entonces solo puede tener un número finito de valores propios. En particular, debe haber un valor propio con la propiedad que no es un valor propio. Sea un vector propio para con valor propio :${\displaystyle V}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \lambda +2}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle H\cdot v_{0}=\lambda v_{0}}$.

Entonces debemos tener

${\displaystyle X\cdot v_{0}=0}$,

o de lo contrario, la identidad anterior nos diría que es un vector propio con valor propio .${\displaystyle X\cdot v_{0}}$${\displaystyle \lambda +2}$

Ahora defina una "cadena" de vectores por${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots }$

${\displaystyle v_{k}=Y^{k}\cdot v_{0}}$.

Un simple argumento por inducción ^[4] muestra entonces que

${\displaystyle X\cdot v_{k}=k(\lambda -(k-1))v_{k-1}}$

para todos . Ahora, si no es el vector cero, es un vector propio para con valor propio . Dado que, nuevamente, solo tiene un número finito de autovectores, concluimos que debe ser cero para algunos (y luego para todos ). ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \lambda -2k}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v_{l}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle v_{k}=0}$${\displaystyle k>l}$

Sea el último vector distinto de cero en la cadena; eso es, pero . Entonces, por supuesto, y por la identidad anterior con , tenemos${\displaystyle v_{m}}$${\displaystyle v_{m}\neq 0}$${\displaystyle v_{m+1}=0}$${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0}$${\displaystyle k=m+1}$

${\displaystyle 0=X\cdot v_{m+1}=(m+1)(\lambda -m)v_{m}}$.

Dado que es al menos uno y , concluimos que debe ser igual al número entero no negativo . ${\displaystyle m+1}$${\displaystyle v_{m}\neq 0}$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m}$

Obtenemos así una cadena de vectores tal que actúa como${\displaystyle m+1}$${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{m}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\cdot v_{m}=0;\quad Y\cdot v_{k}=v_{k+1}\quad (k<m)}$

y actúa como${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\cdot v_{0}=0,\quad X\cdot v_{k}=k(m-(k-1))v_{k-1}\quad (k>0)}$

y actúa como${\displaystyle H}$

${\displaystyle H\cdot v_{k}=(m-2k)v_{k}}$.

(Lo hemos reemplazado con su valor conocido actualmente de en las fórmulas anteriores). ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle m}$

Dado que los vectores son vectores propios con valores propios distintos, deben ser linealmente independientes. Además, la amplitud de es claramente invariante bajo la acción del álgebra de Lie compleja. Dado que se asume que es irreductible, este intervalo debe ser total . Obtenemos así una descripción completa de cómo debe ser una representación irreductible; es decir, una base para el espacio y una descripción completa de cómo actúan los generadores del álgebra de Lie. A la inversa, para cualquiera podemos construir una representación simplemente usando las fórmulas anteriores y verificando que se mantengan las relaciones de conmutación. Entonces se puede demostrar que esta representación es irreducible. ^[5]${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{m}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle m\geq 0}$

Conclusión : Para cada número entero no negativo , existe una representación irreductible única con mayor peso . Cada representación irreductible es equivalente a una de ellas. La representación con mayor peso tiene dimensión con pesos , cada uno con multiplicidad uno.${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m}$

El elemento Casimir

Introducimos ahora el elemento Casimir (cuadrático) , dado por${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=-\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}\right)}$.

Podemos verlo como un elemento del álgebra envolvente universal o como un operador en cada representación irreductible. Viendo como un operador en la representación con mayor peso , podemos calcular fácilmente que conmuta con cada uno . Así, según el lema de Schur , actúa como un múltiplo escalar de la identidad de cada uno . Podemos escribir en términos de la base de la siguiente manera:${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle m}$${\displaystyle C}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle c_{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {H,X,Y}}$

${\displaystyle C=(X+Y)^{2}-(-X+Y)^{2}+H^{2}}$,

que simplifica a

${\displaystyle C=4YX+H^{2}+2H}$.

El valor propio de en la representación con mayor peso se puede calcular aplicando al vector de mayor peso, que es aniquilado por . Por lo tanto, obtenemos ${\displaystyle C}$${\displaystyle m}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle c_{m}=m^{2}+2m=m(m+2)}$.

En la literatura de física, Casimir se normaliza como . Al etiquetar las cosas en términos de , el valor propio de se calcula como${\displaystyle C'=C/4}$${\displaystyle l=m/2}$${\displaystyle d_{l}}$${\displaystyle C'}$

${\displaystyle d_{l}={\frac {1}{4}}(2l)(2l+2)=l(l+1)}$.

Las representaciones del grupo

Acción sobre polinomios

Dado que SU (2) está simplemente conectado, un resultado general muestra que cada representación de su álgebra de Lie (compleja) da lugar a una representación de SU (2) en sí. Sin embargo, es deseable dar una comprensión explícita de las representaciones a nivel de grupo. Las representaciones de grupos se pueden realizar en espacios de polinomios en dos variables complejas. ^[6] Es decir, para cada entero no negativo , denotamos el espacio de polinomios homogéneos de grado en dos variables complejas. Entonces la dimensión de es . Hay una acción natural de SU (2) en cada uno , dada por${\displaystyle m}$${\displaystyle V_{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle V_{m}}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle V_{m}}$

${\displaystyle [U\cdot p](z)=p\left(U^{-1}z\right),\quad z\in \mathbb {C} ^{2},\,U\in \mathrm {SU} (2)}$.

La representación del álgebra de Lie asociada es simplemente la descrita en la sección anterior. (Vea aquí una fórmula explícita para la acción del álgebra de Lie en el espacio de polinomios).

Los personajes

El carácter de una representación es la función dada por${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \mathrm {X} :G\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {X} (g)=\mathrm {trace} (\Pi (g))}$.

Los personajes juegan un papel importante en la teoría de la representación de grupos compactos . El carácter se ve fácilmente como una función de clase, es decir, invariante bajo la conjugación.

En el caso SU (2), el hecho de que el carácter sea una función de clase significa que está determinado por su valor en el toro máximo que consta de las matrices diagonales en SU ​​(2). Dado que la representación irreducible con mayor peso tiene pesos , es fácil ver que el carácter asociado satisface${\displaystyle T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

Esta expresión es una serie geométrica finita que se puede simplificar a

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\mathrm {sin} ((m+1)\theta )}{\mathrm {sin} (\theta )}}.}$

Esta última expresión es solo la declaración de la fórmula del carácter de Weyl para el caso SU (2). ^[7]

En realidad, siguiendo el análisis original de Weyl de la teoría de la representación de grupos compactos, se pueden clasificar las representaciones enteramente desde la perspectiva del grupo, sin usar representaciones del álgebra de Lie en absoluto. En este enfoque, la fórmula del carácter de Weyl juega un papel esencial en la clasificación, junto con el teorema de Peter-Weyl . El caso SU (2) de esta historia se describe aquí .

Relación con las representaciones de SO (3)

Ver también: Grupo de rotación SO (3) § Conexión entre SO (3) y SU (2) , y representación proyectiva

Tenga en cuenta que todos los pesos de la representación son pares (si es par) o todos los pesos son impares (si es impar). En términos físicos, esta distinción es importante: las representaciones con pesos pares corresponden a representaciones ordinarias del grupo de rotación SO (3) . ^[8] Por el contrario, las representaciones con pesos impares corresponden a la representación de doble valor (espinorial) de SO (3), también conocidas como representaciones proyectivas . ${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

En las convenciones de la física, ser par corresponde a un número entero, mientras que ser impar corresponde a un medio entero. Estos dos casos se describen como espín entero y espín medio entero , respectivamente. Las representaciones con valores positivos impares de son representaciones fieles de SU (2), mientras que las representaciones de SU (2) con valores pares no negativos no son fieles. ^[9]${\displaystyle m}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

Otro enfoque

Consulte el ejemplo del teorema de Borel-Weil-Bott .

Representaciones irreductibles más importantes y sus aplicaciones

Artículo principal: Grupo de rotación SO (3) § Una nota sobre álgebra de Lie

Las representaciones de SU (2) describen un espín no relativista , debido a que es una doble cobertura del grupo de rotación del 3-espacio euclidiano . El espín relativista es descrito por la teoría de representación de SL 2 ( C ) , un supergrupo de SU (2), que de manera similar cubre SO + (1; 3) , la versión relativista del grupo de rotación. La simetría SU (2) también apoya los conceptos de espín isobárico e isospín débil , conocidos colectivamente como isospín .

La representación con (es decir, en la convención de física) es la representación 2 , la representación fundamental de SU (2). Cuando un elemento de SU (2) se escribe como una matriz compleja de 2 × 2 , es simplemente una multiplicación de los vectores de la columna 2 . Se conoce en física como el espín-½ e, históricamente, como la multiplicación de cuaterniones (más precisamente, multiplicación por una unidad de cuaternión). Esta representación también puede verse como una representación proyectiva de doble valor del grupo de rotación SO (3).${\displaystyle m=1}$${\displaystyle l=1/2}$

La representación con (es decir, ) es la representación 3 , la representación adjunta . Describe rotaciones tridimensionales , la representación estándar de SO (3), por lo que los números reales son suficientes para ello. Los físicos lo utilizan para la descripción de partículas masivas de espín 1, como los mesones vectoriales , pero su importancia para la teoría del espín es mucho mayor porque ancla los estados de espín a la geometría del 3-espacio físico . Esta representación surgió simultáneamente con el 2 cuando William Rowan Hamilton presentó versors${\displaystyle m=2}$${\displaystyle l=1}$, su término para elementos de SU (2). Tenga en cuenta que Hamilton no utilizó la terminología estándar de la teoría de grupos ya que su trabajo precedió a los desarrollos de los grupos de Lie.

La representación (es decir ) se utiliza en física de partículas para ciertos bariones , como el Δ .${\displaystyle m=3}$${\displaystyle l=3/2}$

Ver también

• Operador de rotación (espacio vectorial)
• Operador de rotación (mecánica cuántica)
• Teoría de representación de SO (3)
• Conexión entre SO (3) y SU (2)
• teoría de la representación de SL 2 ( R )
• Interacción electrodébil
• Grupo de rotación SO (3) § Una nota sobre el álgebra de Lie

Referencias

1. Teorema 5.6 de Hall 2015
2. Salón 2015 Sección 3.6
3. Salón 2015 Lema 4.33
4. Ecuación de Hall 2015 (4.15)
5. Salón 2015 prueba de la Proposición 4.11
6. Salón 2015 Sección 4.2
7. Ejemplo de Hall 2015 12.23
8. Salón 2015 Sección 4.7
9. Ma, Zhong-Qi (28 de noviembre de 2007). Teoría de grupos para físicos . Compañía Editorial Científica Mundial. pag. 120. ISBN 9789813101487.

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Gerard 't Hooft (2007), Grupos de Lie en Física , Capítulo 5 "Operadores de escalera"
• Iachello, Francesco (2006), Lie Algebras and Applications , Lecture Notes in Physics, 708 , Springer, ISBN 3540362363