En matemáticas , el álgebra de Lie lineal especial de orden n (denotado o ) es el álgebra de Lie de matrices con traza cero y con el corchete de Lie . Esta álgebra está bien estudiada y comprendida, y se utiliza a menudo como modelo para el estudio de otras álgebras de Lie. El grupo de Lie que genera es el grupo lineal especial .
Aplicaciones
El álgebra de mentira es central para el estudio de la relatividad especial , la relatividad general y la supersimetría : su representación fundamental es la denominada representación espinor , mientras que su representación adjunta genera el grupo de Lorentz SO (3,1) de la relatividad especial.
El álgebra juega un papel importante en el estudio del caos y los fractales , ya que genera el grupo de Möbius SL (2, R) , que describe los automorfismos del plano hiperbólico , la superficie de Riemann más simple de curvatura negativa; por el contrario, SL (2, C) describe los automorfismos de la bola hiperbólica tridimensional.
Teoría de la representación
Teoría de la representación de
Por definición, el álgebra de Lie consta de matrices complejas de dos por dos sin rastro. Hay tres elementos básicos estándar,,, y , con
- , , .
Los conmutadores son
- , , y
El álgebra de mentira puede verse como un subespacio de su álgebra envolvente universal y en , existen las siguientes relaciones del conmutador mostradas por inducción: [1]
- ,
- .
Tenga en cuenta que, aquí, los poderes , etc. se refieren a las potencias como elementos del álgebra U y no a las potencias matriciales. El primer hecho básico (que se sigue de las relaciones de conmutador anteriores) es: [1]
Lema - Dejarser una representación de y un vector en él. Colocar para cada . Si es un vector propio de la acción de ; es decir, para algún número complejo , luego, para cada ,
- .
- .
- .
De este lema se deduce el siguiente resultado fundamental: [2]
Teorema - Sea ser una representación de que puede tener una dimensión infinita y un vector en eso es un -vector de peso (es una subálgebra de Borel). [3] Entonces
- Esos Los valores distintos de cero son linealmente independientes.
- Si algun es cero, entonces el -valor propio de v es un entero no negativo tal que son distintos de cero y . Además, el subespacio abarcado por eles un irreductible -subrepresentación de .
La primera afirmación es verdadera ya que es cero o tiene -valor propio distinto de los valores propios de los demás que son distintos de cero. Diciendo es un -peso es equivalente a decir que es simultáneamente un vector propio de ; un breve cálculo muestra que, en ese caso, el-valor propio de es cero: . Por lo tanto, para algunos enteros, y en particular, por el lema temprano,
lo que implica que . Queda por mostrares irreductible. Si es una subrepresentación, entonces admite un vector propio, que debe tener un valor propio de la forma ; por lo tanto es proporcional a. Por el lema anterior, tenemos es en y por lo tanto .
Como corolario, se deduce:
- Si tiene dimensión finita y es irreducible, entonces -valor propio de v es un entero no negativo y tiene una base .
- Por el contrario, si el -valor propio de es un número entero no negativo y es irreductible, entonces tiene una base ; en particular tiene dimensión finita.
El hermoso caso especial de muestra una forma general de encontrar representaciones irreductibles de álgebras de Lie. Es decir, dividimos el álgebra en tres subálgebras "h" (la subálgebra de Cartan ), "e" y "f", que se comportan aproximadamente como sus homónimos en. Es decir, en una representación irreductible, tenemos un vector propio "más alto" de "h", sobre el cual "e" actúa por cero. La base de la representación irreductible es generada por la acción de "f" sobre los vectores propios más altos de "h". Vea el teorema del mayor peso .
Teoría de la representación de
Cuándo para un espacio vectorial complejo , cada representación irreducible de dimensión finita de se puede encontrar como una subrepresentación de un poder tensorial de. [4]
Notas
- ↑ a b Kac 2003 , § 3.2.
- ^ Serre 2001 , Capítulo IV, § 3, Teorema 1. Corolario 1.
- ^ Tal también se llama comúnmente un elemento primitivo de .
- ^ Serre 2000 , cap. VII, párrafo 6.
Referencias
- Etingof, Pavel. " Apuntes de la conferencia sobre teoría de la representación ".
- Kac, Víctor (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46693-8.
- Hall, Brian C. (2015), grupos de mentiras, álgebras de mentira y representaciones: una introducción elemental , textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer
- AL Onishchik, EB Vinberg , VV Gorbatsevich, Estructura de grupos de Lie y álgebras de Lie . Grupos de Lie y álgebras de Lie, III. Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, 41. Springer-Verlag, Berlín, 1994. iv + 248 págs. (Una traducción de Problemas actuales en matemáticas. Direcciones fundamentales. Vol. 41, Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. I Tekhn. Inform., Moscú, 1990. Traducción de V. Minachin. Traducción editada por AL Onishchik y EB Vinberg) ISBN 3-540-54683-9
- VL Popov , EB Vinberg, teoría invariante . Geometría algebraica. IV. Grupos algebraicos lineales. Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, 55. Springer-Verlag, Berlín, 1994. vi + 284 págs. (Una traducción de geometría algebraica. 4, Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. I Tekhn. Inform., Moscú, 1989. Traducción editado por AN Parshin e IR Shafarevich) ISBN 3-540-54682-0
- Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Complex Semisimple Lie Algebras ], traducido por Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.
Ver también
- Grupo de Weyl afín
- Grupo finito de Coxeter
- Diagrama de Hasse
- Grupo algebraico lineal
- Órbita nilpotente
- Sistema raíz
- sl2-triple
- Grupo Weyl