En física matemática y matemáticas , las matrices de Pauli son un conjunto de tres matrices complejas de 2 × 2 que son hermitianas y unitarias . [1] Usualmente indicados por la letra griega sigma ( σ ), ocasionalmente son denotados por tau ( τ ) cuando se usan en conexión con simetrías isospin .
Estas matrices llevan el nombre del físico Wolfgang Pauli . En mecánica cuántica , ocurren en la ecuación de Pauli que tiene en cuenta la interacción del espín de una partícula con un campo electromagnético externo .
Cada matriz de Pauli es hermitiana y, junto con la matriz de identidad I (a veces considerada como la matriz cero de Pauli σ 0 ), las matrices de Pauli forman una base para el espacio vectorial real de las matrices hermitianas de 2 × 2 . Esto significa que cualquier matriz hermitiana de 2 × 2 puede escribirse de forma única como una combinación lineal de matrices de Pauli, siendo todos los coeficientes números reales.
Hermitianos representan observables en la mecánica cuántica, por lo que las matrices de Pauli abarcan el espacio de observables de la 2 complejo -dimensional espacio de Hilbert . En el contexto del trabajo de Pauli, σ k representa el observable correspondiente al giro a lo largo del k- ésimo eje de coordenadas en el espacio euclidiano tridimensional R 3 .
Las matrices de Pauli (después de multiplicarlas por i para hacerlas antihermitianas ) también generan transformaciones en el sentido de las álgebras de Lie : las matrices iσ 1 , iσ 2 , iσ 3 forman una base para el álgebra de Lie real, que se expone al grupo unitario especial SU (2) . [nb 1] El álgebra generada por las tres matrices σ 1 , σ 2 , σ 3 es isomorfa al álgebra de Clifford de R 3 , y el álgebra (asociativa unital) generada por iσ 1 , iσ 2 , iσ 3 es isomorfa a eso de cuaterniones .
Propiedades algebraicas
Las tres matrices de Pauli se pueden compactar en una sola expresión:
donde i = √ −1 es la unidad imaginaria , y δ ab es el delta de Kronecker , que es igual a +1 si a = by 0 en caso contrario. Esta expresión es útil para "seleccionar" cualquiera de las matrices numéricamente sustituyendo valores de a = 1, 2, 3 , a su vez útil cuando cualquiera de las matrices (pero ninguna en particular) se va a utilizar en manipulaciones algebraicas.
Las matrices son involutivas :
donde yo es la matriz de identidad .
Los determinantes y trazas de las matrices de Pauli son:
De lo cual, podemos deducir que los valores propios de cada σ i son ± 1 .
Con la inclusión de la matriz identidad, I (a veces denotada como σ 0 ), las matrices de Pauli forman una base ortogonal (en el sentido de Hilbert-Schmidt ) del espacio real de Hilbert de matrices hermitianas complejas de 2 × 2 ,, y el complejo espacio de Hilbert de todas las matrices 2 × 2 ,.
Autovectores y autovalores
Cada una de las matrices de Pauli ( hermitianas ) tiene dos valores propios , +1 y -1 . Los vectores propios normalizados correspondientes son:
Vector de Pauli
El vector de Pauli está definido por [nb 2]
y proporciona un mecanismo de mapeo desde una base vectorial a una base de matriz de Pauli [2] de la siguiente manera,
usando la convención de suma . Más,
sus valores propios son , y además (ver completitud, a continuación)
Sus vectores propios normalizados son
Relaciones de conmutación
Las matrices de Pauli obedecen a las siguientes relaciones de conmutación :
y relaciones anticonmutación :
donde la constante de estructura ε abc es el símbolo de Levi-Civita , se usa la notación sumatoria de Einstein, δ ab es el delta de Kronecker e I es la matriz identidad 2 × 2 .
Por ejemplo,
conmutadores | anticonmutadores |
---|---|
Relación con el producto puntual y cruzado
Los vectores de Pauli mapean elegantemente estas relaciones de conmutación y anticonmutación con los correspondientes productos vectoriales. Agregar el conmutador al anticonmutador da
así que eso,
Contratando cada lado de la ecuación con componentes de dos 3 -vectores a p y b q (que conmutan con las matrices de Pauli, es decir, a p σ q = σ q a p ) para cada matriz σ q y componente vectorial a p (y igualmente con b q ), y reetiquetar los índices a , b , c → p , q , r , para evitar conflictos de notación, produce
Finalmente, traducir la notación de índice para el producto escalar y el producto cruzado da como resultado
|
| ( 1 ) |
Si i se identifica con el pseudoescalar σ x σ y σ z, entonces el lado derecho se convierte en que es también la definición del producto de dos vectores en álgebra geométrica.
Algunas trazas de relaciones
Las siguientes trazas se pueden derivar utilizando las relaciones de conmutación y anticonmutación.
Si también se considera la matriz σ 0 = I , estas relaciones se vuelven
donde los índices griegos α , β , γ y μ asumen valores de {0, x , y , z } y la notaciónse utiliza para denotar la suma sobre la permutación cíclica de los índices incluidos.
Exponencial de un vector de Pauli
Para
uno tiene, para potencias pares, 2 p , p = 0, 1, 2, 3, ...
que se puede mostrar primero para el caso p = 1 usando las relaciones de anticonmutación. Por conveniencia, el caso p = 0 se toma como I por convención.
Para potencias impares, 2 q + 1, q = 0, 1, 2, 3, ...
Exponenciando la matriz y usando la serie de Taylor para seno y coseno ,
- .
En la última línea, la primera suma es el coseno, mientras que la segunda suma es el seno; así que finalmente,
|
| ( 2 ) |
que es análoga a la fórmula de Euler , extendida a los cuaterniones .
Tenga en cuenta que
- ,
mientras que el determinante de la exponencial en sí es solo 1 , lo que lo convierte en el elemento de grupo genérico de SU (2) .
Se puede encontrar una versión más abstracta de la fórmula (2) para una matriz general de 2 × 2 en el artículo sobre exponenciales de matrices . Se proporciona una versión general de (2) para una función analítica (en ay - a ) mediante la aplicación de la fórmula de Sylvester , [3]
La ley de composición de grupo de SU (2)
Una sencilla aplicación de la fórmula (2) proporciona una parametrización de la ley de composición del grupo SU (2) . [nb 3] Se puede resolver directamente para c en
que especifica la multiplicación de grupos genéricos, donde, evidentemente,
la ley esférica de los cosenos . Dado c , entonces,
En consecuencia, los parámetros de rotación compuestos en este elemento de grupo (una forma cerrada de la respectiva expansión BCH en este caso) simplemente ascienden a [4]
(Por supuesto, cuando ̂n es paralelo a ̂m , también lo es ̂k y c = a + b .)
Acción adjunta
También es sencillo calcular del mismo modo la acción adjunta en el vector de Pauli, es decir, la rotación de manera efectiva al doble del ángulo a ,
Relación de completitud
Una notación alternativa que se usa comúnmente para las matrices de Pauli es escribir el índice vectorial i en el superíndice y los índices de la matriz como subíndices, de modo que el elemento en la fila α y la columna β de la i -ésima matriz de Pauli sea σ i αβ .
En esta notación, la relación de completitud para las matrices de Pauli se puede escribir
- Prueba : el hecho de que las matrices de Pauli, junto con la matriz identidad I , formen una base ortogonal para el espacio de Hilbert complejo de todas las matrices 2 × 2 significa que podemos expresar cualquier matriz M como
- donde c es un número complejo y a es un vector complejo de 3 componentes. Es sencillo mostrar, utilizando las propiedades enumeradas anteriormente, que
- donde "tr" denota el rastro , y de ahí que
- que se puede reescribir en términos de índices matriciales como
- donde la suma está implícita sobre los índices repetidos γ y δ . Dado que esto es cierto para cualquier elección de la matriz M , la relación de completitud sigue como se indicó anteriormente.
Como se señaló anteriormente, es común denotar la matriz unitaria 2 × 2 por σ 0 , por lo que σ 0 αβ = δ αβ . La relación de completitud puede expresarse alternativamente como
El hecho de que cualquier matriz hermitiana compleja de 2 × 2 pueda expresarse en términos de la matriz de identidad y las matrices de Pauli también conduce a la representación de la esfera de Bloch de la matriz de densidad de 2 × 2 estados mixtos , (matrices semidefinitas positivas de 2 × 2 con traza unitaria Esto se puede ver expresando primero una matriz hermitiana arbitraria como una combinación lineal real de { σ 0 , σ 1 , σ 2 , σ 3 } como arriba, y luego imponiendo las condiciones positivas-semidefinito y traza 1 .
Para un estado puro, en coordenadas polares, , la matriz de densidad idempotente
actúa sobre el vector propio del estado con valor propio 1, por lo tanto, como un operador de proyección para él.
Relación con el operador de permutación
Sea P ij la transposición (también conocida como permutación) entre dos espines σ i y σ j que viven en el espacio del producto tensorial,
Este operador también se puede escribir de manera más explícita como el operador de intercambio de giro de Dirac ,
Por tanto, sus valores propios son [5] 1 o -1. Por lo tanto, se puede utilizar como un término de interacción en un hamiltoniano, dividiendo los valores propios de energía de sus estados propios simétricos versus antisimétricos.
SU (2)
El grupo SU (2) es el grupo de Lie de matrices unitarias 2 × 2 con determinante unitario; su álgebra de Lie es el conjunto de todas las matrices antihermitianas de 2 × 2 con traza 0. El cálculo directo, como el anterior, muestra que el álgebra de Lie es el álgebra real tridimensional abarcada por el conjunto { iσ j } . En notación compacta,
Como resultado, cada iσ j puede verse como un generador infinitesimal de SU (2). Los elementos de SU (2) son exponenciales de combinaciones lineales de estos tres generadores y se multiplican como se indicó anteriormente al discutir el vector de Pauli. Aunque esto es suficiente para generar SU (2), no es una representación adecuada de su (2) , ya que los valores propios de Pauli se escalan de manera no convencional. La normalización convencional es λ =1/2, así que eso
Como SU (2) es un grupo compacto, su descomposición de Cartan es trivial.
ASÍ (3)
El álgebra de Lie su (2) es isomórfica al álgebra de Lie so (3) , que corresponde al grupo de Lie SO (3) , el grupo de rotaciones en el espacio tridimensional. En otras palabras, se puede decir que iσ j son una realización (y, de hecho, la realización de menor dimensión) de rotaciones infinitesimales en el espacio tridimensional. Sin embargo, aunque su (2) y so (3) son isomorfos como álgebras de Lie, SU (2) y SO (3) no son isomorfos como grupos de Lie. SU (2) es en realidad una doble cobertura de SO (3) , lo que significa que hay un homomorfismo de grupo de dos a uno de SU (2) a SO (3) , consulte la relación entre SO (3) y SU (2) .
Cuaterniones
La envolvente lineal real de { I , iσ 1 , iσ 2 , iσ 3 } es isomorfo al álgebra real de cuaterniones H . El isomorfismo de H a este conjunto viene dado por el siguiente mapa (observe los signos invertidos para las matrices de Pauli):
Alternativamente, el isomorfismo se puede lograr mediante un mapa utilizando las matrices de Pauli en orden inverso, [6]
Como el conjunto de versores U ⊂forma un grupo isomorfo a SU (2) , U da otra forma de describir SU (2) . El homomorfismo de dos a uno de SU (2) a SO (3) se puede dar en términos de las matrices de Pauli en esta formulación.
Física
Mecanica clasica
En mecánica clásica , las matrices de Pauli son útiles en el contexto de los parámetros de Cayley-Klein. [7] La matriz P correspondiente a la posición de un punto en el espacio se define en términos de la matriz vectorial de Pauli anterior,
En consecuencia, la matriz de transformación Q θ para rotaciones sobre el eje x a través de un ángulo θ puede escribirse en términos de matrices de Pauli y la matriz unitaria como [7]
Se siguen expresiones similares para las rotaciones generales del vector Pauli, como se detalla anteriormente.
Mecánica cuántica
En mecánica cuántica , cada matriz de Pauli está relacionada con un operador de momento angular que corresponde a un observable que describe el espín de una partícula de espín 1 ⁄ 2 , en cada una de las tres direcciones espaciales. Como consecuencia inmediata de la descomposición de Cartan mencionada anteriormente, iσ j son los generadores de una representación proyectiva ( representación de espín ) del grupo de rotación SO (3) actuando sobre partículas no relativistas con espín 1 ⁄ 2 . Los estados de las partículas se representan como espinores de dos componentes. De la misma forma, las matrices de Pauli están relacionadas con el operador isospin .
Una propiedad interesante del giro. 1 ⁄ 2 partículas es que deben rotarse en un ángulo de 4 π para volver a su configuración original. Esto se debe a la correspondencia de dos a uno entre SU (2) y SO (3) mencionada anteriormente, y al hecho de que, aunque uno visualiza el giro hacia arriba / hacia abajo como el polo norte / sur en la 2-esfera S 2 , en realidad, están representados porvectores ortogonales en el complejo espacio bidimensional de Hilbert .
Para un giro 1 ⁄ 2 partícula, el operador de giro está dado por J = ħ/2σ , larepresentación fundamentaldeSU (2). Al tomar losproductosdeKroneckerde esta representación consigo mismo repetidamente, se pueden construir todas las representaciones irreductibles superiores. Es decir, losoperadores de giroresultantespara sistemas de giro más alto en tres dimensiones espaciales, parajarbitrariamente grande, se pueden calcular utilizando esteoperador de giroyoperadores de escalera. Se pueden encontrar en elgrupo de rotación SO (3) # Una nota sobre álgebra de Lie. La fórmula análoga a la generalización anterior de la fórmula de Euler para matrices de Pauli, el elemento de grupo en términos de matrices de espín, es manejable, pero menos simple. [8]
También útil en la mecánica cuántica de los sistemas de múltiples partículas, el grupo general de Pauli G n se define para consistir en todos los productos tensoriales de n- pliegues de las matrices de Pauli.
Mecánica cuántica relativista
En la mecánica cuántica relativista , los espinores en cuatro dimensiones son matrices de 4 × 1 (o 1 × 4). Por lo tanto, las matrices de Pauli o las matrices Sigma que operan en estos espinores tienen que ser matrices de 4 × 4. Se definen en términos de matrices de Pauli 2 × 2 como
De esta definición se deduce que las matrices tienen las mismas propiedades algebraicas que las matrices σ i .
Sin embargo, el momento angular relativista no es un vector de tres, sino un tensor de cuatro de segundo orden . Por esonecesita ser reemplazado por Σ μν , el generador de transformaciones de Lorentz en espinores . Por la antisimetría del momento angular, las Σ μν también son antisimétricas. Por tanto, solo hay seis matrices independientes.
Los tres primeros son los Los tres restantes, , donde las matrices α i de Dirac se definen como
Las matrices de espín relativistas Σ μν se escriben en forma compacta en términos de conmutador de matrices gamma como
- .
Información cuántica
En la información cuántica , las puertas cuánticas de un solo qubit son matrices unitarias de 2 × 2. Las matrices de Pauli son algunas de las operaciones de un solo qubit más importantes. En ese contexto, la descomposición de Cartan dada anteriormente se denomina descomposición Z – Y de una puerta de un solo qubit . La elección de un par de Cartan diferente da una descomposición X – Y similar de una puerta de un solo qubit .
Ver también
- Spinors en tres dimensiones
- Matrices gamma
- § Base de Dirac
- Momento angular
- Matrices de Gell-Mann
- Grupo Poincaré
- Generalizaciones de matrices de Pauli
- Esfera de Bloch
- La identidad de cuatro cuadrados de Euler
- Para generalizaciones de espín más alto de las matrices de Pauli, consulte espín (física) § Espines más altos
- Matriz de intercambio (la segunda matriz de Pauli es una matriz de intercambio de orden dos)
Observaciones
- ^ Esto se ajusta a laconvención matemática para la matriz exponencial , iσ ↦ exp ( iσ ) . En laconvención dela física , σ ↦ exp (- iσ ) , por lo tanto, noes necesaria unamultiplicación previa por i para aterrizar en SU (2) .
- ^ El vector de Pauli es un dispositivo formal. Puede considerarse como un elemento de M 2 ( C ) ⊗ R 3 , donde el espacio del producto tensorial está dotado de un mapeo ⋅: R 3 × ( M 2 ( C ) ⊗ R 3 ) → M 2 ( C ) inducido por el producto escalar en R 3 .
- ^ NB La relación entre a, b, c, n, m, k derivada aquí en larepresentación 2 × 2 es válida para todas las representaciones de SU (2) , siendo una identidad de grupo . Tenga en cuenta que, en virtud de la normalización estándar de los generadores de ese grupo como la mitad de las matrices de Pauli, los parámetros a , b , c corresponden a la mitad de los ángulos de rotación del grupo de rotación.
Notas
- ^ "Matrices de Pauli" . Sitio web Planetmath. 28 de marzo de 2008 . Consultado el 28 de mayo de 2013 .
- ^ Ver el mapa de espinor .
- ^ Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC 43641333 .
- ^ cf. JW Gibbs (1884). Elementos de análisis vectorial , New Haven, 1884, pág. 67. De hecho, sin embargo, la fórmula se remonta a Olinde Rodrigues , 1840, repleta de semi-ángulo: "Des lois géometriques qui regissent les déplacements d 'un systéme solide dans l' espace, et de la variación des coordonnées provenant de ces déplacement considérées indépendant des cause qui peuvent les produire ", J. Math. Pures Appl. 5 (1840), 380–440; en línea
- ^ Explícitamente, en la convención de "matrices de espacio derecho en elementos de matrices de espacio izquierdo", es
- ^ Nakahara, Mikio (2003). Geometría, topología y física (2ª ed.). Prensa CRC. ISBN 978-0-7503-0606-5., págs. xxii .
- ^ a b Goldstein, Herbert (1959). Mecánica clásica . Addison-Wesley. págs. 109-118.
- ^ Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014). "Una fórmula compacta para rotaciones como polinomios de matriz de espín". SIGMA . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Código bibliográfico : 2014SIGMA..10..084C . doi : 10.3842 / SIGMA.2014.084 . S2CID 18776942 .
Referencias
- Liboff, Richard L. (2002). Introducción a la mecánica cuántica . Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
- Schiff, Leonard I. (1968). Mecánica cuántica . McGraw-Hill. ISBN 978-0070552876.
- Leonhardt, Ulf (2010). Óptica cuántica esencial . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-14505-3.