Grupo de cobertura

Concepto en teoría de grupos topológicos

Este artículo trata sobre el grupo de cobertura topológica. Para el grupo de cobertura algebraica, consulte la extensión central perfecta universal .

En matemáticas , un grupo de cobertura de un grupo topológico H es un espacio de cobertura G de H tal que G es un grupo topológico y el mapa de cobertura p  : G → H es un homomorfismo de grupo continuo . El mapa p se llama homomorfismo de cobertura . Un caso frecuente es un grupo de doble cobertura , una doble cobertura topológica en la que H tiene índice 2 en G ; los ejemplos incluyen elgrupos de espín , grupos de pines y grupos metaplécticos .

Explicado a grandes rasgos, decir que, por ejemplo, el grupo metapléctico Mp _{2 n} es una doble cobertura del grupo simpléctico Sp _{2 n} significa que siempre hay dos elementos en el grupo metapléctico que representan un elemento en el grupo simpléctico.

Propiedades

Deje que G sea un grupo que cubre de H . El núcleo K de la homomorfismo cubierta es sólo la fibra sobre la identidad en H y es un discreto subgrupo normal de G . El núcleo K está cerrado en G si y solo si G es Hausdorff (y si y solo si H es Hausdorff). Yendo en la otra dirección, si G es cualquier grupo topológico y K es un subgrupo normal discreto de G, entonces el mapa del cociente p  : G →G / K es un homomorfismo de cobertura.

Si G está conectado, entonces K , al ser un subgrupo normal discreto, se encuentra necesariamente en el centro de G y, por lo tanto, es abeliano . En este caso, el centro de H = G / K viene dado por

${\displaystyle Z(H)\cong Z(G)/K.}$

Al igual que con todos los espacios que cubren, el grupo fundamental de G inyecta en el grupo fundamental de H . Dado que el grupo fundamental de un grupo topológico es siempre abeliano, cada grupo de cobertura es un espacio de cobertura normal. En particular, si G es trayectoria-conectado a continuación, el grupo cociente es isomorfo a K . El grupo K actúa simplemente de forma transitiva sobre las fibras (que son simplemente clases laterales izquierdas ) mediante multiplicación por la derecha. El grupo G es entonces un director K -bundle sobre H .${\displaystyle \pi _{1}(H)/\pi _{1}(G)}$

Si G es un grupo de cobertura de H, entonces los grupos G y H son localmente isomorfos . Además, dados cualesquiera dos grupos isomórficos H ₁ y H ₂ conectados localmente , existe un grupo topológico G con subgrupos normales discretos K ₁ y K _{2 de} modo que H ₁ es isomorfo a G / K ₁ y H ₂ es isomorfo a G / K ₂ .

Estructura de grupo en un espacio de cobertura

Deje H un grupo topológico y dejar que G sea un espacio que cubre de H . Si G y H están conectados a la ruta y localmente , entonces para cualquier elección del elemento e * en la fibra sobre e ∈ H , existe una estructura de grupo topológico única en G , con e * como la identidad, para la cual el mapa de cobertura p  : G → H es un homomorfismo.

La construcción es como sigue. Deje una y b ser elementos de G y dejar que f y g sea caminos en G a partir de e * y que termina en una y ab respectivamente. Defina una trayectoria h  : I → H por h ( t ) = p ( f ( t )) p ( g ( t )). Por la propiedad de elevación de caminos de cubrir espacios, hay una elevación única de ha G con el punto inicial e *. El producto ab se define como el punto final de esta ruta. Por construcción tenemos p ( ab ) = p ( a ) p ( b ). Uno debe mostrar que esta definición es independiente de la elección de rutas de f y g , y también que las operaciones de grupo son continuas.

Alternativamente, la ley de grupo en G puede ser construido mediante el levantamiento de la ley grupo H × H → H a G , utilizando la propiedad de elevación del mapa que cubre G × G → H × H .

El caso no conectado es interesante y se estudia en los artículos de Taylor y Brown-Mucuk que se citan a continuación. Esencialmente hay una obstrucción a la existencia de una cobertura universal que es también un grupo topológico tal que el mapa de cobertura es un morfismo: esta obstrucción se encuentra en el tercer grupo de cohomología del grupo de componentes de G con coeficientes en el grupo fundamental de G en la identidad.

Grupo de recubrimiento universal

Si H es un grupo conectado por camino, conectado por camino localmente y conectado simplemente semilocalmente , entonces tiene una cobertura universal . Mediante la construcción anterior, la cubierta universal se puede convertir en un grupo topológico con el mapa de cubierta con un homomorfismo continuo. Este grupo se llama el grupo recubrimiento universal de H . También hay una construcción más directa que damos a continuación.

Deje PH sea el grupo de ruta de H . Es decir, PH es el espacio de caminos en H basado en la identidad junto con la topología compacta-abierta . El producto de trayectorias viene dado por una multiplicación puntual, es decir ( fg ) ( t ) = f ( t ) g ( t ). Esto le da a PH la estructura de un grupo topológico. Hay un homomorfismo de grupo natural PH → H que envía cada camino a su punto final. La funda universal de Hse da como el cociente de PH por el subgrupo normal de bucles homotópicos nulos . La proyección PH → H desciende al cociente que da el mapa de cobertura. Se puede demostrar que la cobertura universal es simplemente conectado y el núcleo es el grupo fundamental de H . Es decir, tenemos una breve secuencia exacta

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(H)\to {\tilde {H}}\to H\to 1}$

donde es la cubierta universal de H . Concretamente, el grupo de cobertura universal de H es el espacio de clases de trayectorias de homotopía en H con multiplicación puntual de trayectorias. El mapa de cobertura envía cada clase de ruta a su punto final.${\displaystyle {\tilde {H}}}$

Celosía de grupos de cobertura

Como sugiere lo anterior, si un grupo tiene un grupo de cobertura universal (si está conectado por una ruta, está conectado por una ruta localmente y está conectado simplemente semilocalmente), con un centro discreto, entonces el conjunto de todos los grupos topológicos que están cubiertos por la cubierta universal grupo forma una celosía, correspondiente a la celosía de subgrupos del centro del grupo de cobertura universal: la inclusión de subgrupos corresponde a la cobertura de grupos cocientes. El elemento máximo es el grupo de cobertura universal, mientras que el elemento mínimo es el grupo de cobertura universal en su centro .${\displaystyle {\tilde {H}},}$${\displaystyle {\tilde {H}}/Z({\tilde {H}})}$

Esto corresponde algebraicamente a la extensión central perfecta universal (llamada "grupo de cobertura", por analogía) como el elemento máximo, y un grupo mod su centro como elemento mínimo.

Esto es particularmente importante para los grupos de Lie, ya que estos grupos son todas las realizaciones (conectadas) de un álgebra de Lie en particular. Para muchos grupos de Lie, el centro es el grupo de matrices escalares y, por tanto, el grupo que tiene su centro es la proyectivización del grupo de Lie. Estas cubiertas son importantes en el estudio de representaciones proyectivas de grupos de Lie, y las representaciones de espín conducen al descubrimiento de grupos de espín : una representación proyectiva de un grupo de Lie no necesita provenir de una representación lineal del grupo, sino que proviene de una representación lineal de algunos grupo de cobertura, en particular el grupo de cobertura universal. El análogo finito condujo al grupo de cobertura o cobertura de Schur, como se discutió anteriormente.

Un ejemplo clave surge de SL 2 ( R ) , que tiene centro {± 1} y el grupo fundamental Z . Es una cubierta doble del grupo lineal especial proyectivo sin centro PSL ₂ ( R ), que se obtiene tomando el cociente por el centro. Por descomposición de Iwasawa , ambos grupos son haces circulares sobre el semiplano superior complejo, y su cobertura universal es un haz de líneas real sobre el semiplano que forma una de las ocho geometrías de Thurston . Dado que el semiplano es contráctil, todas las estructuras de haz son triviales. La preimagen de SL ₂ ( Z${\displaystyle {\mathrm {S} {\widetilde {\mathrm {L} _{2}(}}\mathbf {R} )}}$) en la cubierta universal es isomorfo al grupo de trenzas en tres hebras.

Grupos de mentiras

Ver también: Extensión de grupo § Extensión central

Todas las definiciones y construcciones anteriores se aplican al caso especial de los grupos de Lie . En particular, cada cubierta de una variedad es una variedad, y el homomorfismo de cubierta se convierte en un mapa uniforme . Asimismo, dado cualquier subgrupo normal discreto de un grupo de Lie, el grupo del cociente es un grupo de Lie y el mapa del cociente es un homomorfismo de cobertura.

Dos grupos de Lie son localmente isomórficos si y solo si sus álgebras de Lie son isomórficas. Esto implica que un homomorfismo φ: G → H de grupos de Lie es un homomorfismo de cobertura si y solo si el mapa inducido en álgebras de Lie

${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$

es un isomorfismo.

Dado que para cada álgebra de Lie hay un único grupo de Lie simplemente conexo G con álgebra de Lie , de esto se desprende que el grupo recubrimiento universal de un grupo de Lie conexo H es la (única) simplemente conectado grupo de Lie G que tienen la misma álgebra de Lie como H .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ejemplos de

• El grupo de cobertura universal del círculo del grupo T es el grupo aditivo de los números reales R con la cubierta homomorfismo propuesta por el función exponencial exp: R → T . El núcleo de la función exponencial es isomorfo a Z .
• Para cualquier número entero n tenemos un grupo de cobertura del círculo por sí mismo T → T que envía z a z ⁿ . El núcleo de este homomorfismo es el grupo cíclico que consta de las raíces n - ésimas de la unidad .
• El grupo de rotación SO (3) tiene como cobertura universal el grupo SU (2) que es isomorfo al grupo de versores en los cuaterniones. Esta es una cubierta doble ya que el núcleo tiene orden 2. (cf los tangloides ).
• El grupo unitario U ( n ) está cubierto por el grupo compacto T × SU ( n ) con el homomorfismo de cobertura dado por p ( z , A ) = zA . La cubierta universal es R × SU ( n ).
• El grupo ortogonal especial SO ( n ) tiene una doble cobertura llamada grupo de espín Spin ( n ). Para n ≥ 3, el grupo de espín es la cobertura universal de SO ( n ).
• Para n ≥ 2, la cobertura universal del grupo lineal especial SL ( n , R ) no es un grupo de matriz (es decir, no tiene representaciones de dimensión finita fieles ).

Referencias

• Pontryagin, Lev S. (1986). Grupos topológicos . trans. del ruso por Arlen Brown y PSV Naidu (3ª ed.). Gordon & Breach Science. ISBN 2-88124-133-6.
• Taylor, RL (1954). "Cubriendo grupos de grupos topológicos no conectados" . Proc. Amer. Matemáticas. Soc . 5 : 753–768. doi : 10.1090 / S0002-9939-1954-0087028-0 . JSTOR  2031861 . Señor  0087028 .
• Brown, R .; Mucuk, O. (1994). "Cubriendo grupos de grupos topológicos no conectados revisitados". Matemáticas. Proc. Cambridge Philos. Soc . 115 (1): 97-110. arXiv : matemáticas / 0009021 . Bibcode : 2000math ...... 9021B . CiteSeerX  10.1.1.236.9436 . doi : 10.1017 / S0305004100071942 .