En matemáticas , la fórmula de Riemann-Siegel es una fórmula asintótica para el error de la ecuación funcional aproximada de la función zeta de Riemann , una aproximación de la función zeta por una suma de dos series finitas de Dirichlet . Fue encontrado por Siegel (1932) en manuscritos inéditos de Bernhard Riemann que datan de la década de 1850. Siegel lo derivó de la fórmula integral de Riemann-Siegel , una expresión para la función zeta que involucra integrales de contorno . A menudo se utiliza para calcular valores de la fórmula de Riemann-Siegel, a veces en combinación con laAlgoritmo de Odlyzko-Schönhage que lo acelera considerablemente. Cuando se usa a lo largo de la línea crítica, a menudo es útil para usarlo en una forma donde se convierte en una fórmula para la función Z .
Si M y N son números enteros no negativos, entonces la función zeta es igual a
dónde
es el factor que aparece en la ecuación funcional ζ ( s ) = γ (1 - s ) ζ (1 - s ) , y
es una integral de contorno cuyo contorno comienza y termina en + ∞ y rodea las singularidades de valor absoluto como máximo 2 πM . La ecuación funcional aproximada da una estimación del tamaño del término de error. Siegel (1932) y Edwards (1974) derivan la fórmula de Riemann-Siegel a partir de esto aplicando el método de descenso más pronunciado a esta integral para dar una expansión asintótica para el término de error R ( s ) como una serie de potencias negativas de Im ( s) ). En las aplicaciones, s suele estar en la línea crítica, y los números enteros positivos M y N se eligen para que sean aproximadamente (2 π Im ( s )) 1/2 . Gabcke (1979) encontró buenos límites para el error de la fórmula de Riemann-Siegel.
Fórmula integral de Riemann
Riemann demostró que
donde el contorno de integración es una línea de pendiente -1 que pasa entre 0 y 1 ( Edwards 1974 , 7.9).
Usó esto para dar la siguiente fórmula integral para la función zeta:
Referencias
- Berry, Michael V. (1995), "La expansión de Riemann-Siegel para la función zeta: órdenes superiores y residuos", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A: Ciencias matemáticas, físicas y de la ingeniería , 450 (1939): 439–462, doi : 10.1098 / rspa.1995.0093 , ISSN 0962-8444 , MR 1349513 , Zbl 0842.11030
- Edwards, HM (1974), función zeta de Riemann , Matemáticas puras y aplicadas, 58 , Nueva York-Londres: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035
- Gabcke, Wolfgang (1979), Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel (en alemán), Georg-August-Universität Göttingen, hdl : 11858 / 00-1735-0000-0022-6013-8 , Zbl 0499.10040
- Patterson, SJ (1988), Introducción a la teoría de la función zeta de Riemann , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 14 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-33535-3, Zbl 0641.10029
- Siegel, CL (1932), "Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie", Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. Und Phys. Abt. B: Studien 2 : 45–80, JFM 58.1037.07 , Zbl 0004.10501Reimpreso en Gesammelte Abhandlungen, vol. 1. Berlín: Springer-Verlag , 1966.