Serie Dirichlet

En matemáticas , una serie de Dirichlet es cualquier serie de la forma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

donde s es complejo y es una secuencia compleja . Es un caso especial de la serie general de Dirichlet .${\displaystyle a_{n}}$

Las series de Dirichlet desempeñan una variedad de funciones importantes en la teoría analítica de números . La definición más común de la función zeta de Riemann es una serie de Dirichlet, al igual que las funciones L de Dirichlet . Se conjetura que la clase de series de Selberg obedece a la hipótesis generalizada de Riemann . La serie lleva el nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Importancia combinatoria

La serie de Dirichlet se puede utilizar como serie generadora para contar conjuntos de objetos ponderados con respecto a un peso que se combina multiplicativamente al tomar productos cartesianos.

Suponga que A es un conjunto con una función w : A → N que asigna un peso a cada uno de los elementos de A , y suponga además que la fibra sobre cualquier número natural por debajo de ese peso es un conjunto finito. (Llamamos a una disposición de este tipo ( A , w ) un conjunto ponderado.) Supongamos, además, que un _n es el número de elementos de A con un peso n . Luego definimos la serie generadora de Dirichlet formal para A con respecto a w de la siguiente manera:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)=\sum _{a\in A}{\frac {1}{w(a)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

Tenga en cuenta que si A y B son subconjuntos disjuntos de algún conjunto ponderado ( U , w ), entonces la serie de Dirichlet para su unión (disjunta) es igual a la suma de su serie de Dirichlet:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\uplus B}(s)={\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)+{\mathfrak {D}}_{w}^{B}(s).}$

Además, si ( A , u ) y ( B , v ) son dos conjuntos ponderados, y definimos una función ponderada w : A × B → N por

${\displaystyle w(a,b)=u(a)v(b),}$

para todo a en A y b en B , entonces tenemos la siguiente descomposición para la serie de Dirichlet del producto cartesiano:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\times B}(s)={\mathfrak {D}}_{u}^{A}(s)\cdot {\mathfrak {D}}_{v}^{B}(s).}$

Esto se sigue, en última instancia, del simple hecho de que ${\displaystyle n^{-s}\cdot m^{-s}=(nm)^{-s}.}$

Ejemplos

El ejemplo más famoso de una serie de Dirichlet es

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

cuya continuación analítica a (aparte de un polo simple en ) es la función zeta de Riemann .${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle s=1}$

Siempre que f tenga un valor real en todos los números naturales n , las respectivas partes real e imaginaria de la serie de Dirichlet F tienen fórmulas conocidas en las que escribimos : ${\displaystyle s\equiv \sigma +\imath t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Re [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\cos(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\\\Im [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\sin(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\,.\end{aligned}}}$

Tratando estos como series formales de Dirichlet por el momento para poder ignorar cuestiones de convergencia, tenga en cuenta que tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&={\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\mathbb {N} }(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}:n\in \mathbb {N} \}}(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}\}}(s)\\&=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{(p^{n})^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }\left({\frac {1}{p^{s}}}\right)^{n}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\end{aligned}}}$

ya que cada número natural tiene una descomposición multiplicativa única en potencias de primos. Es este poco de combinatoria lo que inspira la fórmula del producto Euler .

Otro es:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

donde μ ( n ) es la función de Möbius . Esta y muchas de las siguientes series se pueden obtener aplicando la inversión de Möbius y la convolución de Dirichlet a series conocidas. Por ejemplo, dado un carácter de Dirichlet χ ( n ) uno tiene

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

donde L ( χ , s ) es una función L de Dirichlet .

Si la función aritmética f tiene un Dirichlet inversa función , es decir, si existe una función inversa de tal manera que la convolución de Dirichlet de f con su inversa se obtiene la identidad multiplicativa , entonces la DGF de la función inversa es dada por la inversa de F : ${\displaystyle f^{-1}(n)}$${\textstyle \sum _{d|n}f(d)f^{-1}(n/d)=\delta _{n,1}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f^{-1}(n)}{n^{s}}}=\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)^{-1}.}$

Otras identidades incluyen

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$

donde esta la funcion totient ,${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}}$

donde J _k es la función de Jordan , y

${\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}\end{aligned}}}$

donde σ _a ( n ) es la función divisor . Por especialización a la función divisor d  =  σ ₀ tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{2}(s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.\end{aligned}}}$

El logaritmo de la función zeta viene dado por

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

Del mismo modo, tenemos que

${\displaystyle -\zeta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\log(n)}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

Aquí, Λ ( n ) es la función de von Mangoldt . La derivada logarítmica es entonces

${\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Estos tres últimos son casos especiales de una relación más general para las derivadas de la serie de Dirichlet, que se indican a continuación.

Dada la función de Liouville λ ( n ), uno tiene

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Otro ejemplo más involucra la suma de Ramanujan :

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.}$

Otro par de ejemplos involucra la función de Möbius y la función principal omega : ^[1]

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}.}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}.}$

Tenemos que la serie de Dirichlet para la función zeta prima , que es análoga a la función zeta de Riemann sumada solo sobre índices n que son primos, está dada por una suma sobre la función de Moebius y los logaritmos de la función zeta:

${\displaystyle P(s):=\sum _{p\quad {\text{prime}}}p^{-s}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns).}$

Aquí se encuentra un gran catálogo tabular de otros ejemplos de sumas correspondientes a representaciones de series de Dirichlet conocidas .

Aquí se dan ejemplos de DGF de la serie de Dirichlet correspondientes a f aditivo (en lugar de multiplicativo) para las funciones omega primas y , que cuentan respectivamente el número de factores primos distintos de n (con multiplicidad o no). Por ejemplo, el DGF de la primera de estas funciones se expresa como el producto de la función zeta de Riemann y la función zeta principal para cualquier complejo s con : ${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\cdot P(s),\Re (s)>1.}$

Si f es una función multiplicativa tal que su DGF F converge absolutamente para todos , y si p es cualquier número primo , tenemos que ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a,f}}$

${\displaystyle \left(1+f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)}{n^{s}}}=\left(1-f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)\mu (\gcd(p,n))}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f},}$

donde está la función de Moebius . Otra identidad única de la serie de Dirichlet genera la función sumatoria de alguna aritmética f evaluada en las entradas de MCD dadas por ${\displaystyle \mu (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}f(\gcd(k,n))\right){\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f}+1.}$

También tenemos una fórmula entre los DGF de dos funciones aritméticas f y g relacionadas por la inversión de Moebius . En particular, si , entonces por inversión de Moebius tenemos eso . Por lo tanto, si F y G son los dos DGF respectivos de f y g , entonces podemos relacionar estos dos DGF mediante las fórmulas: ${\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}$${\displaystyle f(n)=(g\ast \mu )(n)}$

${\displaystyle F(s)={\frac {G(s)}{\zeta (s)}},\Re (s)>\max(\sigma _{a,f},\sigma _{a,g}).}$

Existe una fórmula conocida para la exponencial de una serie de Dirichlet. Si es el DGF de alguna aritmética f con , entonces el DGF G se expresa por la suma ${\displaystyle F(s)=\exp(G(s))}$${\displaystyle f(1)\neq 0}$

${\displaystyle G(s)=\log(f(1))+\sum _{n\geq 2}{\frac {(f^{\prime }\ast f^{-1})(n)}{\log(n)\cdot n^{s}}},}$

donde es el inverso de Dirichlet de f y donde la derivada aritmética de f viene dada por la fórmula para todos los números naturales .${\displaystyle f^{-1}(n)}$${\displaystyle f^{\prime }(n)=\log(n)\cdot f(n)}$${\displaystyle n\geq 2}$

Propiedades analíticas

Dada una secuencia de números complejos, tratamos de considerar el valor de${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

en función de la variable compleja s . Para que esto tenga sentido, debemos considerar las propiedades de convergencia de la serie infinita anterior:

Si es una secuencia acotada de números complejos, entonces la correspondiente serie de Dirichlet f converge absolutamente en el semiplano abierto Re ( s )> 1. En general, si a _n = O ( n ^k ), la serie converge absolutamente en la mitad plano Re ( s )>  k  + 1.${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

Si el conjunto de sumas

${\displaystyle a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{n+k}}$

está acotado para n y k ≥ 0, entonces la serie infinita anterior converge en el semiplano abierto de s tal que Re ( s )> 0.

En ambos casos, f es una función analítica en el correspondiente semiplano abierto.

En general, es la abscisa de convergencia de una serie de Dirichlet si converge y diverge para Este es el análogo de la serie de Dirichlet del radio de convergencia para las series de potencias . Sin embargo, el caso de la serie de Dirichlet es más complicado: la convergencia absoluta y la convergencia uniforme pueden ocurrir en distintos semiplanos.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$${\displaystyle \Re (s)<\sigma .}$

En muchos casos, la función analítica asociada con una serie de Dirichlet tiene una extensión analítica a un dominio mayor.

Abscisa de convergencia

Suponer

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}}$

converge para algunos ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {C} ,\Re (s_{0})>0.}$

Proposición 1. ${\displaystyle A(N):=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=o(N^{s_{0}}).}$

Prueba. Tenga en cuenta que:

${\displaystyle (n+1)^{s}-n^{s}=\int _{n}^{n+1}sx^{s-1}\,dx={\mathcal {O}}(n^{s-1}).}$

y definir

${\displaystyle B(N)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}=\ell +o(1)}$

dónde

${\displaystyle \ell =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}.}$

Por sumatoria por partes tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}A(N)&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}n^{s_{0}}\\&=B(N)N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}B(n)\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=(B(N)-\ell )N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}(B(n)-\ell )\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=o(N^{s_{0}})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {o}}(n^{s_{0}-1})\\&=o(N^{s_{0}})\end{aligned}}}$

Proposición 2. Definir

${\displaystyle L={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}&{\text{If convergent}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Luego:

${\displaystyle \sigma =\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {\ln |A(N)-L|}{\ln N}}=\inf _{\sigma }\left\{A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma })\right\}}$

es la abscisa de convergencia de la serie de Dirichlet.

Prueba. De la definición

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\qquad A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon })}$

así que eso

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}&=A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=(A(N)-L)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}(A(n)-L)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon -s})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {O}}(n^{\sigma +\varepsilon -s-1})\end{aligned}}}$

que converge como siempre. Por lo tanto, para cada uno que diverge, tenemos y esto termina la prueba.${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle \Re (s)>\sigma .}$${\displaystyle s}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$${\displaystyle \sigma \geq \Re (s),}$

Proposición 3. Si converge, entonces como y donde es meromórfico no tiene polos en${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle f(\sigma +it)=o\left({\tfrac {1}{\sigma }}\right)}$${\displaystyle \sigma \to 0^{+}}$${\displaystyle f(s)}$${\displaystyle \Re (s)=0.}$

Prueba. Tenga en cuenta que

${\displaystyle n^{-s}-(n+1)^{-s}=sn^{-s-1}+O(n^{-s-2})}$

y tenemos por suma por partes, para${\displaystyle A(N)-f(0)\to 0}$${\displaystyle \Re (s)>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}\\&=\lim _{N\to \infty }A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}+\underbrace {{\mathcal {O}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-2}\right)} _{={\mathcal {O}}(1)}\end{aligned}}}$

Ahora encuentre N tal que para n  >  N ,${\displaystyle |A(n)-f(0)|<\varepsilon }$

${\displaystyle s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}=\underbrace {sf(0)\zeta (s+1)+s\sum _{n=1}^{N}(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{={\mathcal {O}}(1)}+\underbrace {s\sum _{n=N+1}^{\infty }(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{<\varepsilon |s|\int _{N}^{\infty }x^{-\Re (s)-1}\,dx}}$

y por lo tanto, para todo hay tal que para : ^[2]${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle |f(\sigma +it)|<C+\varepsilon |\sigma +it|{\frac {1}{\sigma }}.}$

Serie formal de Dirichlet

Una serie de Dirichlet formal sobre un anillo R se asocia a una función a de los enteros positivos a R

${\displaystyle D(a,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}\ }$

con suma y multiplicación definidas por

${\displaystyle D(a,s)+D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a+b)(n)n^{-s}\ }$

${\displaystyle D(a,s)\cdot D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a*b)(n)n^{-s}\ }$

dónde

${\displaystyle (a+b)(n)=a(n)+b(n)\ }$

es la suma puntual y

${\displaystyle (a*b)(n)=\sum _{k\mid n}a(k)b(n/k)\ }$

es la convolución de Dirichlet de una y b .

La serie formal de Dirichlet forma un anillo Ω, de hecho un R -álgebra, con la función cero como elemento cero aditivo y la función δ definida por δ (1) = 1, δ ( n ) = 0 para n  > 1 como identidad multiplicativa. Un elemento de este anillo es invertible si una (1) es invertible en R . Si R es conmutativa, también lo es Ω; si R es un dominio integral , también lo es Ω. Las funciones multiplicativas distintas de cero forman un subgrupo del grupo de unidades de Ω.

El anillo de la serie formal de Dirichlet sobre C es isomorfo a un anillo de la serie formal de potencias en innumerables variables. ^[3]

Derivados

Dado

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

es posible demostrar que

${\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}$

asumiendo que el lado derecho converge. Para una función completamente multiplicativa ƒ ( n ), y asumiendo que la serie converge para Re ( s )> σ ₀ , entonces uno tiene que

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

converge para Re ( s )> σ ₀ . Aquí, Λ ( n ) es la función de von Mangoldt .

Productos

Suponer

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

y

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}$

Si tanto F ( s ) y G ( s ) son convergentes absolutamente para s > a y s > b entonces tenemos

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Si un = b y ƒ ( n ) = g ( n ) tenemos

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Inversión de coeficientes (fórmula integral)

Artículo principal: Inversión de la serie de Dirichlet

Para todos los enteros positivos , la función f en x , , puede ser recuperado de la DGF F de f (o la serie de Dirichlet sobre f ) utilizando la siguiente fórmula integral cada vez , la abscisa de convergencia absoluta de la DGF F ^[4]${\displaystyle x\geq 1}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \sigma >\sigma _{a,f}}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +\imath t}F(\sigma +\imath t)dt.}$

También es posible invertir la transformada de Mellin de la función sumatoria de f que define el DGF F de f para obtener los coeficientes de la serie de Dirichlet (ver sección a continuación). En este caso, llegamos a una fórmula integral de contorno compleja relacionada con el teorema de Perron . Hablando en términos prácticos, las tasas de convergencia de la fórmula anterior en función de T son variables, y si la serie de Dirichlet F es sensible a cambios de signo como una serie de convergencia lenta, puede requerir una T muy grande para aproximar los coeficientes de F usando este fórmula sin tomar el límite formal.

Otra variante de la fórmula anterior establecida en el libro de Apostol proporciona una fórmula integral para una suma alternativa en la siguiente forma para y cualquier real donde denotamos : ${\displaystyle c,x>0}$${\displaystyle \Re (s)\equiv \sigma >\sigma _{a,f}-c}$${\displaystyle \Re (s):=\sigma }$

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}^{\prime }{\frac {f(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{c-\imath \infty }^{c+\imath \infty }D_{f}(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz.}$

Transformaciones integrales y en serie

La transformada de Mellin inversa de una serie de Dirichlet, dividida por s, viene dada por la fórmula de Perron . Además, si es la función generadora ordinaria (formal) de la secuencia de , entonces una representación integral para la serie de Dirichlet de la secuencia de la función generadora , viene dada por ^[5]${\textstyle F(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}}$${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle \{f_{n}z^{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}z^{n}}{(n+1)^{s}}}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)\,dt,\ s\geq 1.}$

Otra clase de transformaciones de funciones generadoras derivadas y basadas en series relacionadas en la función generadora ordinaria de una secuencia que produce efectivamente la expansión del lado izquierdo en la ecuación anterior se definen respectivamente en. ^{[6] [7]}

Relación con la serie de potencias

La secuencia a _n generada por una función generadora de series de Dirichlet correspondiente a:

${\displaystyle \zeta (s)^{m}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

donde ζ ( s ) es la función zeta de Riemann , tiene la función generadora ordinaria:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=x+{m \choose 1}\sum _{a=2}^{\infty }x^{a}+{m \choose 2}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }x^{ab}+{m \choose 3}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }x^{abc}+{m \choose 4}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }x^{abcd}+\cdots }$

Relación con la función sumatoria de una función aritmética a través de transformadas de Mellin

Si f es una función aritmética con el correspondiente DGF F , y la función sumatoria de f está definida por

${\displaystyle S_{f}(x):={\begin{cases}\sum _{n\leq x}f(n),&x\geq 1;\\0,&0<x<1,\end{cases}}}$

entonces podemos expresar F mediante la transformada de Mellin de la función sumatoria en . Es decir, tenemos eso ${\displaystyle -s}$

${\displaystyle F(s)=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {S_{f}(x)}{x^{s+1}}}dx,\Re (s)>\sigma _{a,f}.}$

Para y cualquier número natural , también tenemos la aproximación al DGF F de f dada por ${\displaystyle \sigma :=\Re (s)>0}$${\displaystyle N\geq 1}$

${\displaystyle F(s)=\sum _{n\leq N}f(n)n^{-s}-{\frac {S_{f}(N)}{N^{s}}}+s\cdot \int _{N}^{\infty }{\frac {S_{f}(y)}{y^{s+1}}}dy.}$

Ver también

• Serie General Dirichlet
• Regularización de la función Zeta
• Producto Euler
• Convolución de Dirichlet

Referencias

1. Las fórmulas para ambas series se dan en la Sección 27.4 del Manual de Funciones Matemáticas del NIST /
2. Hardy (1914). "la teoría general de la serie dirichlet" (PDF) .
3. Cashwell, ED; Everett, CJ (1959). "El anillo de las funciones teóricas de números" . Pacific J. Math . 9 : 975–985. doi : 10.2140 / pjm.1959.9.975 . ISSN 0030-8730 . Señor 0108510 . Zbl 0092.04602 .   
4. sección 11.11 del libro de Apostol prueba esta fórmula.
5. Borwein, Borwein y Girgensohn (1994). "Evaluación explícita de las sumas de Euler" (PDF) .
6. Schmidt, MD (2017). "Transformaciones de funciones generadoras de series Zeta relacionadas con funciones de polilogaritmo y los números armónicos de orden k" (PDF) . Revista en línea de analítica combinatoria (12).
7. Schmidt, MD "Transformaciones de funciones generadoras de serie Zeta relacionadas con números de Stirling generalizados y sumas parciales de la función Zeta de Hurwitz". arXiv : 1611.00957 .

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929 , Zbl  0.335,10001
• Hardy, GH ; Riesz, Marcel (1915). La teoría general de la serie de Dirichlet . Cambridge Tracts in Mathematics. 18 . Prensa de la Universidad de Cambridge.
• La teoría general de la serie de Dirichlet de GH Hardy. Monografías históricas de matemáticas de la Biblioteca de la Universidad de Cornell. {Reimpreso por} Colecciones digitales de la biblioteca de la Universidad de Cornell
• Gould, Henry W .; Shonhiwa, Temba (2008). "Un catálogo de interesantes series de Dirichlet" . Srta. J. Math. Sci . 20 (1). Archivado desde el original el 2 de octubre de 2011.<-link muerto
• Mathar, Richard J. (2011). "Estudio de la serie de Dirichlet de funciones aritméticas multiplicativas". arXiv : 1106.4038 [ math.NT ].
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 46 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-41261-7. Zbl  0831.11001 .
• "Serie Dirichlet" . PlanetMath .