Fórmula de Riemann-Hurwitz
En matemáticas , la fórmula de Riemann-Hurwitz , llamada así por Bernhard Riemann y Adolf Hurwitz , describe la relación de las características de Euler de dos superficies cuando una es una cubierta ramificada de la otra. Por lo tanto, conecta la ramificación con la topología algebraica , en este caso. Es un resultado prototipo para muchos otros, y se aplica a menudo en la teoría de superficies de Riemann (que es su origen) y curvas algebraicas .
Para una superficie compacta , conectada y orientable , la característica de Euler es
donde g es el género (el número de asas ), ya que los números de Betti son . En el caso de un mapa de cobertura (sin ramificar ) de superficies
que es sobreyectiva y de grado , tenemos la fórmula
Esto se debe a que cada simplex de debe estar cubierto exactamente por in , al menos si usamos una triangulación suficientemente fina de , como tenemos derecho a hacer, ya que la característica de Euler es un invariante topológico . Lo que hace la fórmula de Riemann-Hurwitz es agregar una corrección para permitir la ramificación (las hojas se juntan ).
Ahora suponga que y son superficies de Riemann , y que el mapa es analítico complejo . Se dice que el mapa está ramificado en un punto P en S ′ si existen coordenadas analíticas cerca de P y π ( P ) tales que π toma la forma π ( z ) = z n , y n > 1. Una forma de pensar equivalente acerca de esto es que existe una pequeña vecindad U de P tal que π ( P ) tiene exactamente una preimagen en U , pero la imagen de cualquier otro punto enT tiene exactamente n preimages en U . El número n se llama el índice de ramificación en P y también denota por e P . Al calcular la característica de Euler de S ′ notamos la pérdida de e P - 1 copias de P por encima de π ( P ) (es decir, en la imagen inversa de π ( P )). Ahora elijamos triangulaciones de S y S ′ con vértices en los puntos de ramificación y ramificación, respectivamente, y utilizamos estos para calcular las características de Euler. Entonces S ′ tendrá el mismo número ded -caras dimensionales para d diferentes de cero, pero con menos vértices de los esperados. Por tanto, encontramos una fórmula "corregida"
