En geometría , una triangulación es una subdivisión de un objeto plano en triángulos y, por extensión, la subdivisión de un objeto geométrico de mayor dimensión en simples . Las triangulaciones de un volumen tridimensional implicarían subdividirlo en tetraedros empaquetados.
En la mayoría de los casos, los triángulos de una triangulación deben coincidir de borde a borde y de vértice a vértice.
Tipos
Se pueden definir diferentes tipos de triangulaciones, dependiendo tanto del objeto geométrico a subdividir como de cómo se determina la subdivisión.
- Una triangulación de es una subdivisión de dentro -simplices dimensionales tales que cualesquiera dos simplices en se cruzan en una cara común (un simplex de cualquier dimensión inferior) o no en absoluto, y cualquier conjunto acotado eninterseca sólo un número finito de simples en. Es decir, es un complejo simplicial localmente finito que cubre todo el espacio.
- Un punto-set triangulación , es decir, una triangulación de una discreta conjunto de puntos, es una subdivisión del casco convexo de los puntos en simplices de modo que dos simplices cualesquiera se intersecan en una cara común de cualquier dimensión o no se cruzan en absoluto y de modo que el conjunto de vértices de los simplices está contenido en. Las triangulaciones de conjuntos de puntos más utilizadas y estudiadas incluyen la triangulación de Delaunay (para puntos en posición general, el conjunto de simples que están circunscritos por una bola abierta que no contiene puntos de entrada) y la triangulación de peso mínimo (la triangulación de conjuntos de puntos que minimiza la suma de las longitudes de los bordes).
- En cartografía , una red irregular triangulada es una triangulación de conjunto de puntos de un conjunto de puntos bidimensionales junto con elevaciones para cada punto. Al levantar cada punto del plano a su altura elevada, los triángulos de la triangulación se convierten en superficies tridimensionales, que forman una aproximación de una forma de relieve tridimensional.
- Una triangulación de polígono es una subdivisión de un polígono dado en triángulos que se encuentran de borde a borde, nuevamente con la propiedad de que el conjunto de vértices de triángulo coincide con el conjunto de vértices del polígono. Las triangulaciones de polígonos se pueden encontrar en tiempo lineal y forman la base de varios algoritmos geométricos importantes, incluida una solución aproximada simple al problema de la galería de arte . La triangulación de Delaunay restringida es una adaptación de la triangulación de Delaunay de conjuntos de puntos a polígonos o, más generalmente, a gráficos de línea recta plana .
- Una triangulación de una superficie consiste en una red de triángulos con puntos en una superficie dada que cubren la superficie total o parcialmente.
- En el método de elementos finitos , las triangulaciones se utilizan a menudo como la malla (en este caso, una malla triangular ) subyacente a un cálculo. En este caso, los triángulos deben formar una subdivisión del dominio a simular, pero en lugar de restringir los vértices a los puntos de entrada, se permite agregar puntos Steiner adicionales como vértices. Para ser apta como mallas de elementos finitos, una triangulación debe tener triángulos bien formados, según criterios que dependan de los detalles de la simulación de elementos finitos (ver calidad de malla ); por ejemplo, algunos métodos requieren que todos los triángulos sean rectos o agudos, formando mallas no abscisas . Se conocen muchas técnicas de mallado, incluidos los algoritmos de refinamiento de Delaunay , como el segundo algoritmo de Chew y el algoritmo de Ruppert .
- En espacios topológicos más generales, las triangulaciones de un espacio generalmente se refieren a complejos simpliciales que son homeomorfos al espacio.
Generalización
El concepto de triangulación también puede generalizarse un poco a subdivisiones en formas relacionadas con triángulos. En particular, una pseudotriangulación de un conjunto de puntos es una partición del casco convexo de los puntos en pseudotriangulos, polígonos que, al igual que los triángulos, tienen exactamente tres vértices convexos. Como en las triangulaciones de conjuntos de puntos, se requiere que las pseudotriangulaciones tengan sus vértices en los puntos de entrada dados.