En la geometría de los empaquetamientos circulares en el plano euclidiano , el lema del anillo da un límite inferior a los tamaños de los círculos adyacentes en un empaquetamiento circular. [1]
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/3/35/Ring_lemma.svg/300px-Ring_lemma.svg.png)
Declaración
El lema dice: Sea ser cualquier número entero mayor o igual a tres. Suponga que el círculo unitario está rodeado por un anillo decírculos interiores disjuntos, todos tangentes a él, con círculos consecutivos en el anillo tangentes entre sí. Entonces el radio mínimo de cualquier círculo en el anillo es al menos la fracción unitaria
dónde es el el número de Fibonacci . [1] [2]
La secuencia de radios mínimos, desde , comienza
y los denominadores en esta secuencia se dan como OEIS : A027941 .
También se conocen generalizaciones al espacio tridimensional. [3]
Construcción
Se puede construir una secuencia infinita de círculos que contengan anillos para cada que coincida exactamente con el límite del lema del anillo, lo que demuestra que está apretado. La construcción permite considerar a los semiplanos como círculos degenerados con radio infinito e incluye tangencias adicionales entre los círculos más allá de las requeridas en el enunciado del lema. Comienza intercalando el círculo unitario entre dos semiplanos paralelos; en la geometría de los círculos , estos se consideran tangentes entre sí en el punto del infinito . Cada círculo sucesivo después de estos dos primeros es tangente al círculo de la unidad central ya los dos círculos agregados más recientemente; vea la ilustración de los primeros seis círculos (incluidos los dos semiplanos) construidos de esta manera. El primerolos círculos de esta construcción forman un anillo, cuyo radio mínimo puede calcularse mediante el teorema de Descartes para que sea el mismo que el radio especificado en el lema del anillo. Esta construcción se puede perturbar a un anillo decírculos finitos, sin tangencias adicionales, cuyo radio mínimo está arbitrariamente cercano a este límite. [4]
Historia
Burton Rodin y Dennis Sullivan probaron por primera vez una versión del lema del anillo con un límite más débil como parte de su prueba de la conjetura de William Thurston de que los empaques circulares pueden usarse para aproximar mapas conformes . [5] Lowell Hansen dio una relación de recurrencia para el límite inferior más estrecho posible, [6] y Dov Aharonov encontró una expresión de forma cerrada para el mismo límite. [2]
Aplicaciones
Más allá de su aplicación original al mapeo conforme, [5] el teorema del empaquetamiento circular y el lema del anillo juegan un papel clave en una demostración de Keszegh, Pach y Pálvölgyi de que los gráficos planos de grado acotado se pueden dibujar con un número de pendiente acotado . [7]
Referencias
- ^ a b Stephenson, Kenneth (2005), Introducción al empaquetado circular: la teoría de las funciones analíticas discretas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82356-2, MR 2131318; véanse especialmente el Lema 8.2 (Lema del anillo), págs. 73-74 , y el Apéndice B, El Lema del anillo, págs. 318-321 .
- ^ a b Aharonov, Dov (1997), "La constante aguda en el lema del anillo", Variables complejas , 33 (1–4): 27–31, doi : 10.1080 / 17476939708815009 , MR 1624890
- ^ Vasilis, Jonatan (2011), "El lema del anillo en tres dimensiones", Geometriae Dedicata , 152 : 51–62, doi : 10.1007 / s10711-010-9545-0 , MR 2795235
- ^ Aharonov, D .; Stephenson, K. (1997), "Secuencias geométricas de discos en el empaquetamiento apolíneo" , Algebra i Analiz , 9 (3): 104-140, MR 1466797
- ^ a b Rodin, Burt ; Sullivan, Dennis (1987), "La convergencia de empaquetaduras circulares al mapeo de Riemann" , Journal of Differential Geometry , 26 (2): 349-360, MR 0906396
- ^ Hansen, Lowell J. (1988), "Sobre el lema del anillo de Rodin y Sullivan", Variables complejas , 10 (1): 23–30, doi : 10.1080 / 17476938808814284 , MR 0946096
- ^ Keszegh, Balázs; Pach, János ; Pálvölgyi, Dömötör (2011), "Dibujar gráficas planas de grado acotado con pocas pendientes", en Brandes, Ulrik; Cornelsen, Sabine (eds.), Graph Drawing: 18th International Symposium, GD 2010, Konstanz, Alemania, 21-24 de septiembre de 2010, Revised Selected Papers , Lecture Notes in Computer Science, 6502 , Heidelberg: Springer, págs. 293–304 , arXiv : 1009.1315 , doi : 10.1007 / 978-3-642-18469-7_27 , MR 2781274