Introducción al empaquetado circular : la teoría de funciones analíticas discretas es una monografía matemáticasobre sistemas de círculos tangentes y el teorema del empaquetado circular . Fue escrito por Kenneth Stephenson y publicado en 2005 por Cambridge University Press .
Temas
Los empaquetamientos de círculos, como se estudió en este libro, son sistemas de círculos que se tocan en puntos tangentes pero no se superponen, de acuerdo con un patrón combinatorio de adyacencias que especifica qué pares de círculos deben tocarse. El teorema del empaquetamiento circular establece que existe un empaquetamiento circular si y sólo si el patrón de adyacencias forma un gráfico plano ; Originalmente fue probado por Paul Koebe en la década de 1930, y popularizado por William Thurston , quien lo redescubrió en la década de 1970 y lo conectó con la teoría de mapas y geometría conforme . [1] Como tema, esto debe distinguirse del empaquetamiento de esferas , que considera dimensiones más altas (aquí, todo es bidimensional) y se centra más en la densidad de empaquetamiento que en los patrones combinatorios de tangencia. [2] [3]
El libro se divide en cuatro partes, en niveles progresivos de dificultad. [4] La primera parte presenta al tema visualmente, animando al lector a pensar en los empaques no solo como objetos estáticos sino como sistemas dinámicos de círculos que cambian de manera predecible cuando cambian las condiciones bajo las cuales se forman (sus patrones de adyacencia). La segunda parte se refiere a la demostración del propio teorema del empaquetamiento de círculos y del teorema de rigidez asociado : cada grafo plano máximo puede asociarse con un empaquetamiento de círculos que es único hasta las transformaciones de Möbius del plano. [1] [3] De manera más general, el mismo resultado se aplica a cualquier variedad triangulada , con un empaque circular en una superficie de Riemann topológicamente equivalente que es única hasta la equivalencia conforme. [5]
La tercera parte del libro se refiere a los grados de libertad que surgen cuando el patrón de adyacencias no está completamente triangulado (es un gráfico plano, pero no un gráfico plano máximo). En este caso, diferentes extensiones de este patrón a gráficos planos máximos más grandes conducirán a diferentes empaquetamientos, que pueden mapearse entre sí mediante los círculos correspondientes. El libro explora la conexión entre estos mapeos, que llama funciones analíticas discretas, y las funciones analíticas del análisis matemático clásico . La parte final del libro se refiere a una conjetura de William Thurston, probada por Burton Rodin y Dennis Sullivan , que hace concreta esta analogía: las asignaciones conformes de cualquier disco topológico a un círculo se pueden aproximar llenando el disco con un empaque hexagonal de círculos unitarios. , encontrando un empaquetamiento circular que agregue a ese patrón de adyacencias un solo círculo exterior, y construyendo la función analítica discreta resultante. Esta parte también incluye aplicaciones a la teoría de números y la visualización de la estructura del cerebro. [1] [3]
Stephenson ha implementado algoritmos para el empaquetamiento de círculos y los ha utilizado para construir las numerosas ilustraciones del libro, [5] dando a gran parte de este trabajo el sabor de las matemáticas experimentales , aunque también es matemáticamente riguroso. [4] Los problemas no resueltos se enumeran a lo largo del libro, que también incluye nueve apéndices sobre temas relacionados, como el lema del anillo y las espirales de Doyle . [1] [3]
Audiencia y recepción
El libro presenta matemáticas a nivel de investigación y está dirigido a matemáticos profesionales interesados en este y otros temas relacionados. El crítico Frédéric Mathéus describe el nivel del material en el libro como "matemáticamente riguroso y accesible para el matemático novato", presentado en un estilo accesible que transmite el amor del autor por el material. [6] Sin embargo, aunque el prefacio del libro establece que no se necesitan conocimientos previos y que el libro puede ser leído por no matemáticos o utilizado como un libro de texto de pregrado, la revisora Michele Intermont no está de acuerdo, señalando que no tiene ejercicios para los estudiantes. y escribir que "los no matemáticos no se sentirán más que frustrados con este libro". [2] De manera similar, el revisor David Mumford encuentra que los primeros siete capítulos (parte I y gran parte de la parte II) son de nivel universitario, pero escribe que "en su conjunto, el libro es adecuado para estudiantes graduados en matemáticas". [4]
Publicación
Referencias
- ^ a b c d Pokas, Serguey M., "Revisión de la introducción al empaquetado circular ", zbMATH , Zbl 1074.52008
- ^ a b Intermont, Michele (diciembre de 2005), "Review of Introduction to Circle Packing ", MAA Reviews , Asociación Matemática de América
- ^ a b c d Lord, Nick (noviembre de 2006), "Review of Introduction to Circle Packing ", The Mathematical Gazette , 90 (519): 554–556, doi : 10.1017 / S0025557200180726 , JSTOR 40378239
- ^ a b c Mumford, David (enero-febrero de 2006), "Stuff it! (Review of Introduction to Circle Packing )", American Scientist , 94 (1): 84–86, JSTOR 27858719
- ^ a b Cannon, JW ; Floyd, WJ ; Parry, WR (junio de 2007), "Review of Introduction to Circle Packing ", The Mathematical Intelligencer , 29 (3): 63–66, doi : 10.1007 / bf02985693
- ^ Mathéus, Frédéric (2006), "Revisión de la introducción al empaquetado circular ", Revisiones matemáticas , MR 2131318
enlaces externos
- El software CirclePack de Ken Stephenson