Una fracción unitaria es un número racional escrito como una fracción donde el numerador es uno y el denominador es un número entero positivo . Por tanto, una fracción unitaria es el recíproco de un entero positivo, 1 / n . Algunos ejemplos son 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.
Aritmética elemental
Multiplicar dos fracciones unitarias cualesquiera da como resultado un producto que es otra fracción unitaria:
Sin embargo, sumar , restar o dividir dos fracciones unitarias produce un resultado que generalmente no es una fracción unitaria:
Aritmética modular
Las fracciones unitarias juegan un papel importante en la aritmética modular , ya que pueden usarse para reducir la división modular al cálculo de los máximos divisores comunes. Específicamente, suponga que deseamos realizar divisiones por un valor x , módulo y . A fin de que la división por x estar bien definida módulo y , x y y debe ser relativamente primos . Luego, utilizando el algoritmo de Euclides extendido de máximo común divisor podemos encontrar una y b tal que
de lo que se sigue que
o equivalente
Por lo tanto, para dividir por x (módulo y ) simplemente necesitamos multiplicar por a .
Sumas finitas de fracciones unitarias
Cualquier número racional positivo se puede escribir como la suma de fracciones unitarias, de varias formas. Por ejemplo,
Las civilizaciones del antiguo Egipto usaban sumas de fracciones unitarias distintas en su notación para números racionales más generales , por lo que estas sumas a menudo se denominan fracciones egipcias . Todavía hoy hay interés en analizar los métodos utilizados por los antiguos para elegir entre las posibles representaciones de un número fraccionario y calcular con tales representaciones. [1] El tema de las fracciones egipcias también ha despertado interés en la teoría de números moderna ; por ejemplo, la conjetura de Erdős-Graham y la conjetura de Erdős-Straus se refieren a sumas de fracciones unitarias, al igual que la definición de los números armónicos de Ore .
En la teoría de grupos geométricos , los grupos de triángulos se clasifican en casos euclidianos, esféricos e hiperbólicos según si una suma asociada de fracciones unitarias es igual a uno, mayor que uno o menor que uno respectivamente.
Serie de fracciones unitarias
Muchas series infinitas conocidas tienen términos que son fracciones unitarias. Éstas incluyen:
- La serie armónica , la suma de todas las fracciones unitarias positivas. Esta suma diverge, y sus sumas parciales
- El problema de Basilea se refiere a la suma de las fracciones unitarias cuadrados, que converge a ¸ 2 /6
- La constante de Apéry es la suma de las fracciones unitarias al cubo.
- La serie geométrica binaria , que suma 2, y la constante de Fibonacci recíproca son ejemplos adicionales de una serie compuesta de fracciones unitarias.
Matrices de fracciones unitarias
La matriz de Hilbert es la matriz con elementos
Tiene la propiedad inusual de que todos los elementos de su matriz inversa son números enteros. [2] De manera similar, Richardson (2001) definió una matriz con elementos
donde F i denota el i- ésimo número de Fibonacci . Él llama a esta matriz la matriz Filbert y tiene la misma propiedad de tener un número entero inverso. [3]
Fracciones adyacentes
Dos fracciones se llaman adyacentes si su diferencia es una fracción unitaria. [4] [5]
Fracciones unitarias en probabilidad y estadística
En una distribución uniforme en un espacio discreto , todas las probabilidades son fracciones unitarias iguales. Debido al principio de indiferencia , las probabilidades de esta forma surgen con frecuencia en los cálculos estadísticos. [6] Además, la ley de Zipf establece que, para muchos fenómenos observados que involucran la selección de elementos de una secuencia ordenada, la probabilidad de que se seleccione el n- ésimo elemento es proporcional a la fracción unitaria 1 / n . [7]
Fracciones unitarias en física
Los niveles de energía de los fotones que pueden ser absorbidos o emitidos por un átomo de hidrógeno son, según la fórmula de Rydberg , proporcionales a las diferencias de dos fracciones unitarias. El modelo de Bohr proporciona una explicación para este fenómeno , según el cual los niveles de energía de los orbitales de los electrones en un átomo de hidrógeno son inversamente proporcionales a las fracciones unitarias cuadradas, y la energía de un fotón se cuantifica a la diferencia entre dos niveles. [8]
Arthur Eddington argumentó que la constante de estructura fina era una fracción unitaria, primero 1/136 y luego 1/137. Esta afirmación se ha falsificado, dado que las estimaciones actuales de la constante de estructura fina son (a 6 dígitos significativos) 1 / 137.036. [9]
Ver también
- Submúltiplo
Referencias
- ^ Guy, Richard K. (2004), "D11. Fracciones egipcias", Problemas sin resolver en la teoría de números (3ª ed.), Springer-Verlag, págs. 252-262, ISBN 978-0-387-20860-2.
- ^ Choi, Man Duen (1983), "Trucos o golosinas con la matriz de Hilbert", The American Mathematical Monthly , 90 (5): 301–312, doi : 10.2307 / 2975779 , MR 0701570.
- ^ Richardson, Thomas M. (2001), "The Filbert matrix" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 39 (3): 268-275, arXiv : math.RA / 9905079 , Bibcode : 1999math ... 5079R
- ^ Fracción adyacente en PlanetMath .
- ^ Weisstein, Eric W. "Fracción adyacente" . MathWorld .
- ^ Galés, Alan H. (1996), Aspectos de la inferencia estadística , Serie de Wiley en Probabilidad y Estadística, 246 , John Wiley and Sons, p. 66, ISBN 978-0-471-11591-5.
- ^ Saichev, Alexander; Malevergne, Yannick; Sornette, Didier (2009), Teoría de la ley de Zipf y más allá , Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 632 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-02945-5.
- ^ Yang, Fujia; Hamilton, Joseph H. (2009), Física atómica y nuclear moderna , World Scientific, págs. 81–86, ISBN 978-981-283-678-6.
- ^ Kilmister, Clive William (1994), la búsqueda de Eddington de una teoría fundamental: una clave para el universo , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37165-0.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Fracción unitaria" . MathWorld .