Véase también glosario de álgebra conmutativa , glosario de geometría algebraica clásica y glosario de teoría de anillos . Para las aplicaciones de teoría de números, consulte el glosario de aritmética y geometría diofántica .
Por simplicidad, a menudo se omite una referencia al esquema base; es decir, un esquema será un esquema sobre algún esquema base fijo S y un morfismo un S -morfismo.
La geometría algebraica ocupó un lugar central en las matemáticas del siglo pasado. Los resultados más profundos de Abel, Riemann, Weierstrass, muchos de los trabajos más importantes de Klein y Poincaré pertenecen a este dominio. A fines del siglo pasado y principios del presente, la actitud hacia la geometría algebraica cambió abruptamente. ... El estilo de pensamiento que estaba completamente desarrollado en la geometría algebraica en ese momento estaba demasiado alejado del espíritu axiomático y teórico de conjuntos, que luego determinó el desarrollo de las matemáticas. ... Hacia mediados del siglo actual, la geometría algebraica había sufrido en gran medida un proceso de remodelación de este tipo. Como resultado, puede volver a reclamar la posición que una vez ocupó en matemáticas.
Si bien gran parte del trabajo inicial sobre módulos, especialmente desde [Mum65], puso el énfasis en la construcción de espacios de módulos finos o gruesos, recientemente el énfasis se desplazó hacia el estudio de las familias de variedades, es decir, hacia los funtores de módulos y las pilas de módulos. La tarea principal es comprender qué tipo de objetos forman familias "agradables". Una vez que se establece un buen concepto de "buenas familias", la existencia de un espacio de módulos gruesos debería ser casi automática. El espacio de módulos gruesos ya no es el objeto fundamental, sino que es solo una forma conveniente de realizar un seguimiento de cierta información que solo está latente en el funtor de módulos o la pila de módulos.
Según el propio punto de vista de Grothendieck, casi no debería haber una historia de esquemas, sino solo una historia de la resistencia a ellos: ... No hay una cuestión histórica seria sobre cómo encontró Grothendieck su definición de esquemas. Estaba en el aire. Bien ha dicho Serre que nadie inventaba esquemas (conversación 1995). La pregunta es, ¿qué hizo que Grothendieck creyera que debería usar esta definición para simplificar un artículo de 80 páginas de Serre en unas 1000 páginas de Éléments de géométrie algébrique ?
El análogo de dimensión superior de los morfismos étale son los morfismos suaves . Hay muchas caracterizaciones diferentes de la suavidad. Las siguientes son definiciones equivalentes de suavidad del morfismo f : Y → X :