Un bono sin riesgo es un bono teórico que paga intereses y capital con absoluta certeza. La tasa de rendimiento sería la tasa de interés libre de riesgo . Es la seguridad primaria, que paga 1 unidad sin importar el estado de la economía en el momento. Entonces, su recompensa es la misma sin importar en qué estado ocurra. Por lo tanto, un inversor no experimenta ningún riesgo al invertir en dicho activo.
En la práctica, los bonos gubernamentales de países financieramente estables se tratan como bonos libres de riesgo, ya que los gobiernos pueden aumentar los impuestos o incluso imprimir dinero para pagar su deuda en moneda nacional. [1]
Por ejemplo, a menudo se supone que los pagarés del Tesoro de los Estados Unidos y los bonos del Tesoro de los Estados Unidos son bonos libres de riesgo. [2] Aunque los inversores en valores del Tesoro de los Estados Unidos se enfrentan de hecho a una pequeña cantidad de riesgo crediticio , [3] este riesgo a menudo se considera insignificante. Rusia mostró un ejemplo de este riesgo crediticio, que incumplió con el pago de su deuda interna durante la crisis financiera rusa de 1998 .
Modelado del precio por modelo de Black-Scholes [4]
En la literatura financiera, no es raro derivar la fórmula Black-Scholes mediante la introducción de una cartera libre de riesgo continuamente reequilibrada que contiene una opción y acciones subyacentes. En ausencia de arbitraje , el rendimiento de dicha cartera debe coincidir con el rendimiento de los bonos libres de riesgo. Esta propiedad conduce a la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes satisfecha por el precio de arbitraje de una opción. Sin embargo, parece que la cartera libre de riesgo no satisface la definición formal de una estrategia de autofinanciamiento y, por lo tanto, esta forma de derivar la fórmula Black-Sholes es defectuosa.
Suponemos que la negociación se lleva a cabo de forma continua en el tiempo y que es posible pedir prestado y prestar fondos sin restricciones a la misma tasa de interés constante. Además, el mercado no tiene fricciones, lo que significa que no hay costos de transacción ni impuestos, y no hay discriminación contra las ventas en corto. En otras palabras, nos ocuparemos del caso de un mercado perfecto .
Supongamos que la tasa de interés a corto plazo es constante (pero no necesariamente no negativo) durante el intervalo de negociación . Se supone que el valor libre de riesgo se capitaliza continuamente a la tasa; es decir,. Adoptamos la convención habitual que, de modo que su precio sea igual para cada . Cuando se trata del modelo Black-Scholes , también podemos reemplazar la cuenta de ahorros por el bono sin riesgo . Un bono unitario de cupón cero con vencimiento en el momento es un valor que paga a su titular 1 unidad de efectivo en una fecha predeterminada en el futuro, conocido como la fecha de vencimiento del bono . Dejar representar el precio en el momento de un bono con vencimiento en el momento . Se ve fácilmente que para replicar la recompensa 1 a la vez basta con invertir unidades de efectivo a la vez en la cuenta de ahorros . Esto muestra que, en ausencia de oportunidades de arbitraje, el precio del bono satisface
Tenga en cuenta que para cualquier T fijo, el precio del bono resuelve la ecuación diferencial ordinaria
Consideramos aquí un bono libre de riesgo , lo que significa que su emisor no incumplirá su obligación de pagar al tenedor del bono el valor nominal a la fecha de vencimiento.
Bono sin riesgo frente a seguridad Arrow-Debreu [5]
El bono libre de riesgo se puede reproducir mediante una cartera de dos valores Arrow-Debreu . Esta cartera coincide exactamente con el pago del bono libre de riesgo, ya que la cartera también paga 1 unidad independientemente del estado en el que se encuentre. Esto se debe a que si su precio fuera diferente al del bono libre de riesgo, tendríamos una oportunidad de arbitraje presente en la economía. Cuando se presenta una oportunidad de arbitraje, significa que se pueden obtener ganancias sin riesgo a través de alguna estrategia comercial. En este caso específico, si la cartera de valores de Arrow-Debreu difiere en precio del precio del bono libre de riesgo, entonces la estrategia de arbitraje sería comprar el de menor precio y vender al descubierto el de mayor precio. Dado que cada uno tiene exactamente el mismo perfil de pago, esta operación nos dejaría con un riesgo neto cero (el riesgo de uno cancela el riesgo del otro porque hemos comprado y vendido en cantidades iguales el mismo perfil de pago). Sin embargo, obtendríamos ganancias porque compramos a un precio bajo y vendemos a un precio alto. Dado que las condiciones de arbitraje no pueden existir en una economía, el precio del bono libre de riesgo es igual al precio de la cartera.
Calculando el precio [5]
El cálculo está relacionado con una seguridad Arrow-Debreu. Llamemos al precio del bono libre de riesgo en el momento como . La se refiere al hecho de que el bono vence en el momento . Como se mencionó anteriormente, el bono libre de riesgo se puede replicar mediante una cartera de dos valores de Arrow-Debreu, una acción de y una parte de .
Usando la fórmula para el precio de un Valores de Arrow-Debreu
que es un producto de la razón de la tasa marginal de sustitución intertemporal (la razón de las utilidades marginales a lo largo del tiempo, también se conoce como la densidad de precios del estado y el núcleo de precios ) y la probabilidad de que ocurra un estado en el que el valor de Arrow-Debreu paga 1 unidad. El precio de la cartera es simplemente
Por lo tanto, el precio de un bono libre de riesgo es simplemente el valor esperado , tomado con respecto a la medida de probabilidad , de la tasa marginal de sustitución intertemporal. La tasa de interés, ahora se define utilizando el recíproco del precio del bono.
Por tanto, tenemos la relación fundamental
que define la tasa de interés en cualquier economía.
Ejemplo
Suponga que la probabilidad de que ocurra el estado 1 es 1/4, mientras que la probabilidad de que ocurra el estado 2 es 3/4. Suponga también que el núcleo de precios es igual a 0,95 para el estado 1 y 0,92 para el estado 2. [5]
Deje que el núcleo de precios denote como . Entonces tenemos dos valores Arrow-Debreu con parámetros
Luego, usando las fórmulas anteriores, podemos calcular el precio del bono
La tasa de interés viene dada por
Por lo tanto, vemos que el precio de un bono y la determinación de la tasa de interés es simple de hacer una vez que se conoce el conjunto de precios de Arrow-Debreu, los precios de los valores de Arrow-Debreu.
Ver también
Referencias
- ^ "KBC de Bélgica desecha la práctica 'libre de riesgo' sobre bonos soberanos - FT.com" .
- ^ "Activo libre de riesgo" . Investopedia . investopedia.com . Consultado el 1 de marzo de 2016 .
- ^ Mattia, Laura (25 de febrero de 2014). "¿Piense que los bonos están libres de riesgo? Piense de nuevo" . abcnews.go.com . ABC . Consultado el 1 de marzo de 2016 .
- ^ Musiela, Marek; Rutkowski, Marek (21 de enero de 2006). Métodos Martingala en Modelización Financiera . Springer Science & Business Media. ISBN 9783540266532.
- ^ a b c Baz, Jamil; Chacko, George (12 de enero de 2004). Derivados financieros: precios, aplicaciones y matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521815109.