teorema de Rokhlin

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En la topología de 4 dimensiones, una rama de las matemáticas, el teorema de Rokhlin establece que si una variedad M cerrada y suave de 4 dimensiones tiene una estructura de espín (o, de manera equivalente, la segunda clase de Stiefel-Whitney desaparece), entonces la firma de su forma de intersección , una forma cuadrática en el segundo grupo de cohomología , es divisible por 16. El teorema lleva el nombre de Vladimir Rokhlin , quien lo demostró en 1952. ${\ estilo de visualización w_ {2} (M)}$ ${\ estilo de visualización H ^ {2} (M)}$

El teorema de Rokhlin se puede deducir del hecho de que el tercer grupo homotópico estable de esferas es cíclico de orden 24; este es el enfoque original de Rokhlin.${\ estilo de visualización \ pi _ {3} ^ {S}}$

Dado que el teorema de Rokhlin establece que la firma de una variedad de espín suave es divisible por 16, la definición del invariante de Rokhlin se deduce de la siguiente manera:

Si N es una variedad de espín 3, entonces limita una variedad M de espín 4 . La firma de M es divisible por 8, y una fácil aplicación del teorema de Rokhlin muestra que su valor mod 16 depende solo de N y no de la elección de M . Las esferas de homología 3 tienen una estructura de giro única , por lo que podemos definir el invariante de Rokhlin de una esfera de homología 3 como el elemento de , donde M cualquier variedad de giro 4 limita la esfera de homología.${\displaystyle \operatorname {signo} (M)/8}$${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} /2Z}$

Por ejemplo, la esfera de homología de Poincaré limita una variedad de espín 4 con forma de intersección , por lo que su invariante de Rokhlin es 1. Este resultado tiene algunas consecuencias elementales: la esfera de homología de Poincaré no admite una incrustación suave en , ni limita una variedad de Mazur .${\ estilo de visualización E_ {8}}$${\ estilo de visualización S^{4}}$

De manera más general, si N es una variedad de espín 3 (por ejemplo, cualquier esfera de homología), entonces la firma de cualquier variedad M de espín 4 con límite N está bien definida mod 16, y se denomina invariante de Rokhlin de N . En una variedad topológica N , la invariante de Rokhlin generalizada se refiere a la función cuyo dominio son las estructuras de espín en N , y que se evalúa como la invariante de Rokhlin del par donde s es una estructura de espín en N .${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\ estilo de visualización (N, s)}$

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