Grupos de homotopía de esferas.
En el campo matemático de la topología algebraica , los grupos homotópicos de esferas describen cómo las esferas de varias dimensiones pueden envolverse entre sí. Son ejemplos de invariantes topológicos , que reflejan, en términos algebraicos , la estructura de esferas vistas como espacios topológicos , olvidándose de su geometría precisa. A diferencia de los grupos de homología , que también son invariantes topológicos, los grupos de homotopía son sorprendentemente complejos y difíciles de calcular.
La esfera unitaria de dimensión n , llamada esfera n por brevedad y denotada como S n , generaliza el círculo familiar ( S 1 ) y la esfera ordinaria ( S 2 ). La n -esfera puede definirse geométricamente como el conjunto de puntos en un espacio euclidiano de dimensión n + 1 ubicado a una unidad de distancia del origen. El i -ésimo grupo de homotopía π i ( S n ) resume las diferentes formas en que el La esfera i -dimensional S i puede mapearse continuamente en la esfera n - dimensional Sn . Este resumen no distingue entre dos mapeos si uno puede deformarse continuamente en el otro; por lo tanto, solo se resumen las clases de correspondencias de equivalencia . Una operación de "suma" definida en estas clases de equivalencia convierte el conjunto de clases de equivalencia en un grupo abeliano .
El problema de determinar π i ( S n ) se divide en tres regímenes, dependiendo de si i es menor, igual o mayor que n :
La cuestión de calcular el grupo de homotopía π n + k ( S n ) para k positivo resultó ser una cuestión central en la topología algebraica que ha contribuido al desarrollo de muchas de sus técnicas fundamentales y ha servido como un foco estimulante de investigación. Uno de los principales descubrimientos es que los grupos de homotopía π n + k ( S n ) son independientes de n para n ≥ k + 2 . Estos se denominan grupos homotópicos estables de esferas y se han calculado para valores de khasta 64. Los grupos de homotopía estable forman el anillo de coeficientes de una teoría de cohomología extraordinaria , llamada teoría de cohomotopía estable . Los grupos de homotopía inestables (para n < k + 2 ) son más erráticos; sin embargo, se han tabulado para k <20 . La mayoría de los cálculos modernos utilizan secuencias espectrales , una técnica aplicada por primera vez a grupos homotópicos de esferas por Jean-Pierre Serre . Se han establecido varios patrones importantes, pero mucho permanece desconocido e inexplicable.
El estudio de los grupos homotópicos de esferas se basa en una gran cantidad de material de antecedentes, que aquí se revisa brevemente. La topología algebraica proporciona el contexto más amplio, construido a su vez sobre la topología y el álgebra abstracta , con grupos de homotopía como ejemplo básico.
Una esfera ordinaria en el espacio tridimensional (la superficie, no la bola sólida) es solo un ejemplo de lo que significa una esfera en topología. La geometría define una esfera rígidamente, como una forma. Aquí hay algunas alternativas.
