En topología diferencial , una rama de las matemáticas, una variedad de Mazur es una variedad cuatridimensional lisa , compacta y contráctil (con límite) que no es difeomórfica con la bola 4 estándar . El límite de una variedad de Mazur es necesariamente una homología de 3 esferas .
Con frecuencia, el término colector Mazur se restringe a una clase especial de la definición anterior: 4 colectores que tienen una descomposición del mango que contiene exactamente tres mangos: un solo 0 mango, un solo 1 mango y un solo 2 mangos. Esto es equivalente a decir que la variedad debe tener la formaunión a 2 manijas. Una observación de Mazur muestra que el doble de tales variedades es difeomórfico a con la estructura lisa estándar.
Historia
Barry Mazur [1] y Valentin Poenaru [2] descubrieron estas variedades simultáneamente. Akbulut y Kirby demostraron que las esferas de homología de Brieskorn , y son los límites de las variedades de Mazur. [3] Estos resultados fueron luego generalizados a otras variedades contractibles por Casson, Harer y Stern. [4] [5] [6] Una de las variedades de Mazur es también un ejemplo de un corcho Akbulut que se puede utilizar para construir 4 variedades exóticas. [7]
Las variedades Mazur han sido utilizadas por Fintushel y Stern [8] para construir acciones exóticas de un grupo de orden 2 en la 4-esfera .
El descubrimiento de Mazur fue sorprendente por varias razones:
- Cada esfera de homología suave en dimensión es homeomorfo al límite de un colector liso contractible compacto. Esto se desprende del trabajo de Kervaire [9] y del teorema de h-cobordismo . Un poco más fuertemente, cada 4-esfera de homología suave es difeomórfica al límite de un 5-múltiple compacto contractible suave (también por el trabajo de Kervaire). Pero no todas las 3 esferas de homología son difeomórficas con respecto al límite de una variedad 4 lisa compacta contráctil. Por ejemplo, la esfera de homología de Poincaré no limita tal variedad 4 porque el invariante de Rochlin proporciona una obstrucción.
- El teorema h-cobordismo implica que, al menos en dimensiones hay un contrato único -múltiple con límite simplemente conectado, donde la unicidad depende del difeomorfismo. Este colector es la bola de la unidad. Es un problema abierto en cuanto a si admite una exótica estructura lisa, pero según el teorema de h-cobordismo, una exótica estructura lisa, si existe, debe restringirse a una exótica estructura lisa en . Si o noadmite que una exótica estructura lisa es equivalente a otro problema abierto, la conjetura lisa de Poincaré en la dimensión cuatro . Si o noadmite que una exótica estructura lisa es otro problema abierto, estrechamente relacionado con el problema de las moscas de Schoen en la dimensión cuatro.
La observación de Mazur
Dejar ser un colector Mazur que se construye como unión a 2 manijas. Aquí hay un bosquejo del argumento de Mazur de que el doble de tal variedad de Mazur es. es un colector de 5 contracciones construido como unión a 2 manijas. El 2-mango se puede desanudar ya que el mapa adjunto es un nudo enmarcado en el 4-manifold. Entonces unión el 2-mango es difeomorfo a . El límite de es . Pero el límite dees el doble de.
Referencias
- ^ Mazur, Barry (1961). "Una nota sobre algunos 4 colectores contraíbles". Ana. de Matemáticas. 73 (1): 221–228. doi : 10.2307 / 1970288 . JSTOR 1970288 . Señor 0125574 .
- ^ Poenaru, Valentin (1960). "Les descompositions de l'hypercube en produit topologique" . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 88 : 113–129. doi : 10.24033 / bsmf.1546 . Señor 0125572 .
- ^ Akbulut, Selman; Kirby, Robion (1979). "Colectores Mazur" . Michigan Math. J . 26 (3): 259–284. doi : 10.1307 / mmj / 1029002261 . Señor 0544597 .
- ^ Casson, Andrew; Harer, John L. (1981). "Algunos espacios de lentes de homología que unen bolas de homología racional" . Pacific J. Math. 96 (1): 23–36. doi : 10.2140 / pjm.1981.96.23 . Señor 0634760 .
- ^ Voluble, Henry Clay (1984). "Nudos, Homología Z de 3 esferas y 4 colectores contraíbles". Houston J. Math . 10 (4): 467–493. Señor 0774711 .
- ^ R.Stern (1978). "Algunas esferas de Brieskorn que unen variedades contráctiles". Avisos Amer. Matemáticas. Soc . 25 .
- ^ Akbulut, Selman (1991). "Un falso colector compacto compacto de 4 colectores" . J. Geom diferencial. 33 (2): 335–356. doi : 10.4310 / jdg / 1214446320 . Señor 1094459 .
- ^ Fintushel, Ronald; Stern, Ronald J. (1981). "Una exótica involución libre en". Ann de Matemáticas.. 113 (2): 357-365. Doi : 10.2307 / 2006987 . JSTOR 2.006.987 . MR 0.607.896 .
- ^ Kervaire, Michel A. (1969). "Esferas de homología suave y sus grupos fundamentales" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 144 : 67–72. doi : 10.1090 / S0002-9947-1969-0253347-3 . Señor 0253347 .
- Rolfsen, Dale (1990), Nudos y enlaces. Reimpresión corregida del original de 1976. , Serie de conferencias de matemáticas, 7 , Houston, TX: Publish or Perish, Inc., págs. 355–357, Capítulo 11E, ISBN 0-914098-16-0, MR 1277811