En matemáticas, la invariante de Rost es una invariante cohomológica de un grupo algebraico simplemente conexo absolutamente simple G sobre un campo k , que asocia un elemento del grupo cohomológico de Galois H 3 ( k , Q / Z (2)) a un espacio homogéneo principal para G. _ Aquí el grupo de coeficientes Q / Z (2) es el producto tensorial del grupo de raíces de la unidad de una clausura algebraica de k consigo mismo. marcus rost ( 1991 ) introdujo por primera vez el invariante para grupos de tipo F 4 y luego lo extendió a grupos más generales en un trabajo inédito que fue resumido por Serre ( 1995 ).
Supongamos que G es un grupo algebraico simplemente conexo absolutamente casi simple sobre un campo k . La invariante de Rost asocia un elemento a ( P ) del grupo de cohomología de Galois H 3 ( k , Q / Z (2)) a un G -torsor P .
donde el grupo medio es el grupo de cohomología étale y Q / Z es la parte geométrica de la cohomología. Elija una extensión finita K de k tal que G se divida en K y P tenga un punto racional en K. Luego, la secuencia exacta se divide canónicamente como una suma directa, por lo que el grupo de cohomología étale contiene Q / Z canónicamente. El invariante a ( P ) es la imagen del elemento 1/[ K : k ] de Q / Z bajo el mapa de trazas de H3
y( P K , Q / Z (2)) a H3
y( P , Q / Z (2)), que se encuentra en el subgrupo H 3 ( k , Q / Z (2)).
Estos invariantes a ( P ) son funcionales en extensiones de campo K de k ; en otras palabras, el encaje para formar un elemento del grupo cíclico Inv 3 ( G , Q / Z (2)) de invariantes cohomológicos del grupo G , que consiste en morfismos del funtor K →H 1 ( K , G ) al funtor K →H 3 ( K , Q / Z (2)). Este elemento de Inv 3 ( G , Q/ Z (2)) es un generador del grupo y se llama invariante de Rost de G .