En matemáticas , un invariante cohomológico de un grupo algebraico G sobre un campo es un invariante de formas de G que toman valores en un grupo de cohomología de Galois .
Definición
Supongamos que G es un grupo algebraico definido sobre un campo K , y elegir un campo separable cerrado K que contiene K . Para una extensión finita L de K en K dejó Γ L sea el grupo de Galois absoluto de L . La primera cohomología H 1 ( L , G ) = H 1 (Γ L , G ) es un conjunto clasificación de las formas de G más de L , y es un funtor de L .
Un invariante cohomológico de G de dimensión d que toma valores en un módulo Γ K M es una transformación natural de los functores (de L ) de H 1 (L, G ) a H d (L, M ).
En otras palabras, un invariante cohomológico asocia un elemento de un grupo cohomológico abeliano a elementos de un conjunto cohomológico no abeliano.
De manera más general, si A es cualquier funtor de extensiones de un campo generadas finitamente a conjuntos, entonces un invariante cohomológico de A de dimensión d que toma valores en un módulo Γ M es una transformación natural de los functores (de L ) de A a H d (L, M ).
Los invariantes cohomológicos de un grupo fijo G o functor A , dimensión d y módulo de Galois M forman un grupo abeliano denotado por Inv d ( G , M ) o Inv d ( A , M ).
Ejemplos de
- Suponga que A es el funtor que lleva un campo a las clases de isomorfismo de álgebras de dimensión n etale sobre él. Los invariantes cohomológicos con coeficientes en Z / 2 Z es un módulo libre sobre la cohomología de k con una base de elementos de grados 0, 1, 2, ..., m donde m es la parte entera de n / 2.
- El invariante de Hasse-Witt de una forma cuadrática es esencialmente un invariante cohomológico de dimensión 2 del grupo de espín correspondiente que toma valores en un grupo de orden 2.
- Si G es un cociente de un grupo por un suave finito subgrupo central de C , entonces el mapa de límites de la secuencia exacta correspondiente da una invariante cohomológico dimensión 2 con valores en C . Si G es un grupo ortogonal especial y la cobertura es el grupo de espín, entonces el invariante correspondiente es esencialmente el invariante de Hasse-Witt .
- Si G es el grupo ortogonal de una forma cuadrática en la característica no 2, entonces hay clases Stiefel-Whitney para cada dimensión positiva que son invariantes cohomológicas con valores en Z / 2 Z . (Estas no son las clases topológicas de Stiefel-Whitney de un paquete de vectores real, pero son sus análogos para los paquetes de vectores sobre un esquema). Para la dimensión 1, este es esencialmente el discriminante, y para la dimensión 2 es esencialmente el Hasse-Witt. invariante .
- El invariante de Arason e 3 es un invariante de dimensión 3 de algunas formas cuadráticas q pares con discriminante trivial e invariante de Hasse-Witt trivial. Se toma valores en Z / 2 Z . Puede usarse para construir un invariante cohomológico de dimensión 3 del grupo de espín correspondiente de la siguiente manera. Si u está en H 1 ( K , Spin ( q )) yp es la forma cuadrática correspondiente a la imagen de u en H 1 ( K , O ( q )), entonces e 3 ( p - q ) es el valor de la dimensión 3 cohomológica invariante en u .
- El invariante de Merkurjev-Suslin es un invariante de dimensión 3 de un grupo lineal especial de un álgebra simple central de rango n que toma valores en el tensor cuadrado del grupo de raíces n -ésimas de la unidad. Cuando n = 2, esto es esencialmente el invariante de Arason.
- Para grupos G absolutamente simples simplemente conectados , el invariante de Rost es un invariante de dimensión 3 que toma valores en Q / Z (2) que en cierto sentido generaliza el invariante de Arason y el invariante de Merkurjev-Suslin a grupos más generales.
Referencias
- Garibaldi, Skip; Merkurjev, Alexander; Serre, Jean-Pierre (2003), invariantes cohomológicos en la cohomología de Galois , University Lecture Series, 28 , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3287-5, Señor 1999383
- Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998), The book of involutions , Colloquium Publications, 44 , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955.16001
- Serre, Jean-Pierre (1995), "Cohomologie galoisienne: progrès et problèmes" , Astérisque , Séminaire Bourbaki, vol. 1993/94. Exp. No. 783, 227 : 229–257, MR 1321649