En matemáticas, un espacio de Rothberger es un espacio topológico que satisface un cierto principio de selección básico . Un espacio Rothberger es un espacio en el que para cada secuencia de cubiertas abiertas del espacio hay conjuntos tal que la familia cubre el espacio.
Historia
En 1938, Fritz Rothberger introdujo su propiedad conocida como . [1]
Caracterizaciones
Caracterización combinatoria
Para subconjuntos de la línea real, la propiedad de Rothberger se puede caracterizar utilizando funciones continuas en el espacio de Baire. . Un subconjunto de es adivinable si hay una función tal que los conjuntos son infinitos para todas las funciones . Un subconjunto de la línea real es Rothberger si se puede adivinar cada imagen continua de ese espacio en el espacio de Baire. En particular, cada subconjunto de la línea real de cardinalidad menor que[2] es Rothberger.
Caracterización topológica del juego
Dejar ser un espacio topológico. El juego de Rothberger jugado en es un juego con dos jugadores Alice y Bob.
Primera ronda : Alice elige una tapa abierta de . Bob elige un conjunto.
2da ronda : Alice elige una tapa abierta de . Bob elige un conjunto finito.
etc.
Si la familia es una tapa del espacio , luego Bob gana el juego . De lo contrario, Alice gana.
Un jugador tiene una estrategia ganadora si sabe cómo jugar para ganar el juego. (formalmente, una estrategia ganadora es una función).
Propiedades
- Cada espacio topológico contable es Rothberger
- Cada conjunto de Luzin es Rothberger [1]
- Cada subconjunto de Rothberger de la línea real tiene una fuerte medida cero . [1]
- En el modelo de Laver para la consistencia de la conjetura de Borel, cada subconjunto de Rothberger de la línea real es contable
Referencias
- ↑ a b c Rothberger, Fritz (1 de enero de 1938). "Eine Verschärfung der Eigenschaft C" . Fundamenta Mathematicae (en alemán). 30 (1). ISSN 0016-2736 .
- ^ Bartoszynski, Tomek; Judá, Haim (15 de agosto de 1995). Teoría de conjuntos: sobre la estructura de la línea real . Taylor y Francis . ISBN 9781568810447.
- ^ a b Pawlikowski, Janusz. "Conjuntos indeterminados de juegos de punto abierto" . Fundamenta Mathematicae . 144 (3). ISSN 0016-2736 .
- ^ Scheepers, Marion (1 de enero de 1995). "Una prueba directa de un teorema de Telgársky" . Actas de la American Mathematical Society . 123 (11): 3483–3485. doi : 10.1090 / S0002-9939-1995-1273523-1 . ISSN 0002-9939 .
- ^ Telgársky, Rastislav (1 de junio de 1984). "Sobre juegos de Topsoe" . Mathematica Scandinavica . 54 : 170-176. doi : 10.7146 / math.scand.a-12050 . ISSN 1903-1807 .