En la teoría de conjuntos, el diagrama de Cichoń o diagrama de Cichon es una tabla de 10 números cardinales infinitos relacionados con la teoría de conjuntos de los reales que muestran las relaciones demostrables entre estas características cardinales del continuo . Todos estos cardenales son mayores o iguales a, el cardenal incontable más pequeño, y están delimitados arriba por , la cardinalidad del continuo . Cuatro cardinales describen propiedades del ideal de conjuntos de medida cero ; cuatro más describen las propiedades correspondientes del ideal de conjuntos magros (conjuntos de primera categoría) .
Definiciones
Let Me ser un ideales de un conjunto infinito fija X , que contiene todos los subconjuntos finitos de X . Definimos los siguientes " coeficientes cardinales " de I :
- La "adición" de que es el menor número de conjuntos de I cuya unión no está en lo más. Como cualquier ideal está cerrado bajo uniones finitas, este número siempre es al menos ; si I es un ideal σ, entonces agregue ( I ) ≥ .
- El "número cubriendo" de que es el menor número de conjuntos de I cuya unión es todo de X . Como X en sí no está en I , debemos agregar ( I ) ≤ cov ( I ).
- El "número de uniformidad" de I (a veces también escrito ) Es el tamaño del conjunto más pequeño no en I . Por nuestra suposición de I , agregue ( I ) ≤ non ( I ).
- La "cofinalidad" de I es la cofinalidad del orden parcial ( I , ⊆). Es fácil ver que debemos tener non ( I ) ≤ cof ( I ) y cov ( I ) ≤ cof ( I ).
Además, el " número delimitador " o "número ilimitado"y el " número dominante " se definen de la siguiente manera:
dónde ""significa:" hay infinitos números naturales n tales que ... ", y""significa" para todos excepto para un número finito de números naturales n tenemos ... ".
Diagrama
Dejar ser el ideal σ de aquellos subconjuntos de la línea real que son exiguos (o "de la primera categoría") en la topología euclidiana , y seasea el ideal σ de aquellos subconjuntos de la recta real que tienen la medida de Lebesgue cero. Entonces se mantienen las siguientes desigualdades (donde una flecha de a a b debe leerse en el sentido de que a ≤ b ):
Además, se mantienen las siguientes relaciones:
Resulta que las desigualdades descritas por el diagrama, junto con las relaciones mencionadas anteriormente, son todas las relaciones entre estos cardinales que se pueden demostrar en ZFC, en el siguiente sentido limitado. Sea A cualquier asignación de los cardenales y a los 10 cardenales en el diagrama de Cichoń. Entonces, si A es consistente con el diagrama en el sentido de que no hay una flecha desde a , y si A también satisface las dos relaciones adicionales, entonces A puede realizarse en algún modelo de ZFC .
Para tamaños continuos más grandes, la situación es menos clara. Es consistente con ZFC que todos los diagramas cardinales de Cichoń son simultáneamente diferentes, aparte de y (que son iguales a otras entradas), [2] [3] pero (a partir de 2019) permanece abierto si todas las combinaciones de los ordenamientos cardinales consistentes con el diagrama son consistentes.
Algunas desigualdades en el diagrama (como "agregar ≤ cov") se derivan inmediatamente de las definiciones. Las desigualdades y son teoremas clásicos y se derivan del hecho de que la línea real se puede dividir en un conjunto escaso y un conjunto de medida cero.
Observaciones
El matemático británico David Fremlin nombró al diagrama en honor al matemático polaco de Wroclaw , Jacek Cichoń . [4]
La hipótesis del continuo , de siendo igual a , haría todas estas flechas iguales.
El axioma de Martin , un debilitamiento de CH, implica que todos los cardinales en el diagrama (excepto quizás) son iguales a .
Referencias
- ^ Bartoszyński, Tomek (2009), "Invariantes de medida y categoría", en Foreman, Matthew (ed.), Manual de teoría de conjuntos , Springer-Verlag, págs. 491–555, arXiv : math / 9910015 , doi : 10.1007 / 978-1-4020-5764-9_8 , ISBN 978-1-4020-4843-2
- ^ Martin Goldstern, Jakob Kellner, Saharon Shelah (2019), "Máximo de Cichoń", Annals of Mathematics , 190 (1): 113–143, arXiv : 1708.03691 , doi : 10.4007 / annals.2019.190.1.2Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ Martin Goldstern, Jakob Kellner, Diego A. Mejía, Saharon Shelah (2019), Máximo de Cichoń sin grandes cardenales , arXiv : 1906.06608Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ Fremlin, David H. (1984), "Diagrama de Cichon", Sémin. Iniciación Anal. 23ème Année-1983/84 , Publ. Matemáticas. Universidad Pierre y Marie Curie , 66 , Zbl 0559.03029 , Exp. No 5, 13 p..