En análisis matemático , un conjunto cero de medida fuerte [1] es un subconjunto A de la línea real con la siguiente propiedad:
Cada conjunto contable es un conjunto de ceros de medida fuerte, y también lo es cada unión de muchos conjuntos de ceros de medida fuerte numerable. Cada conjunto cero de medida fuerte tiene la medida 0 de Lebesgue . El conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto incontable de medida 0 de Lebesgue que no es de medida cero fuerte. [2]
La conjetura de Borel [1] establece que todo conjunto de ceros de medida fuerte es contable. Ahora se sabe que esta declaración es independiente de ZFC (los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos, que es el sistema de axiomas estándar asumido en matemáticas). Esto significa que la conjetura de Borel no se puede probar ni refutar en ZFC (asumiendo que ZFC es consistente ). Sierpiński demostró en 1928 que la hipótesis del continuo (que ahora también se sabe que es independiente de ZFC) implica la existencia de incontables conjuntos de ceros de medidas fuertes. [3] En 1976 , Laver utilizó un método de forzarpara construir un modelo de ZFC en el que se mantenga la conjetura de Borel. [4] Estos dos resultados juntos establecen la independencia de la conjetura de Borel.
La conjetura dual de Borel establece que todo conjunto muy escaso es contable. Esta declaración también es independiente de ZFC. [6]