En el análisis estocástico , una ruta aproximada es una generalización de la noción de ruta suave que permite construir una teoría de solución robusta para ecuaciones diferenciales controladas impulsadas por señales clásicamente irregulares, por ejemplo, un proceso de Wiener . La teoría fue desarrollada en la década de 1990 por Terry Lyons . [1] [2] [3] Se encuentran disponibles varios relatos de la teoría. [4] [5] [6] [7]
La teoría de la trayectoria aproximada se centra en capturar y precisar las interacciones entre sistemas altamente oscilatorios y no lineales. Se basa en el análisis armónico de LC Young, el álgebra geométrica de KT Chen, la teoría de la función de Lipschitz de H. Whitney y las ideas centrales del análisis estocástico. Los conceptos y las estimaciones uniformes tienen una aplicación generalizada en Matemáticas puras y aplicadas y más allá. Proporciona una caja de herramientas para recuperar con relativa facilidad muchos resultados clásicos en análisis estocástico (teorema de soporte de Wong-Zakai, Stroock-Varadhan, construcción de flujos estocásticos, etc.) sin utilizar propiedades probabilísticas específicas como la propiedad martingala o la predictibilidad. La teoría también amplía la teoría de las SDE de Itô.mucho más allá del entorno semimartingale. En el corazón de las matemáticas está el desafío de describir un camino suave pero potencialmente altamente oscilatorio y multidimensional. eficazmente para predecir con precisión su efecto en un sistema dinámico no lineal . La Firma es un homomorfismo del monoide de caminos (bajo concatenación) en los elementos grupales del álgebra de tensor libre. Proporciona un resumen gradual de la ruta.. Esta transformación no conmutativa es fiel para las rutas hasta las modificaciones nulas apropiadas. Estos resúmenes graduados o características de un camino están en el centro de la definición de un camino difícil; localmente eliminan la necesidad de observar la fina estructura del camino. El teorema de Taylor explica cómo cualquier función suave puede expresarse, localmente, como una combinación lineal de ciertas funciones especiales (monomios basados en ese punto). Las integrales iteradas coordinadas (términos de la firma) forman un álgebra de características más sutil que puede describir una corriente o ruta de manera análoga; permiten una definición de camino aproximado y forman una "base" lineal natural para funciones continuas en caminos.
Martin Hairer utilizó caminos aproximados para construir una teoría de solución robusta para la ecuación KPZ . [8] Luego propuso una generalización conocida como la teoría de las estructuras de regularidad [9] por la que recibió una medalla Fields en 2014.
Motivación
La teoría de la trayectoria aproximada tiene como objetivo dar sentido a la ecuación diferencial controlada
donde el control, el camino continuo tomando valores en un espacio de Banach , no es necesario que sean diferenciables ni de variación acotada. Un ejemplo predominante del camino controladoes la ruta de muestra de un proceso de Wiener . En este caso, la mencionada ecuación diferencial controlada se puede interpretar como una ecuación diferencial estocástica e integración contra ""puede definirse en el sentido de Itô . Sin embargo, el cálculo de Itô se define en el sentido dey, en particular, no es una definición de trayectoria. Las rutas aproximadas dan una definición de ruta casi segura de la ecuación diferencial estocástica. La noción de solución del camino difícil está bien planteada en el sentido de que si es una secuencia de caminos suaves que convergen a en el -métrica de variación (descrita a continuación), y
luego converge a en el -métrica de variación. Esta propiedad de continuidad y la naturaleza determinista de las soluciones permite simplificar y fortalecer muchos resultados en el análisis estocástico, como la teoría de la gran desviación de Freidlin-Wentzell [10] , así como los resultados sobre flujos estocásticos.
De hecho, la teoría del camino aproximado puede ir mucho más allá del alcance del cálculo de Itô y Stratonovich y permite dar sentido a las ecuaciones diferenciales impulsadas por caminos no semimartingalas , como los procesos de Gauss y los procesos de Markov . [11]
Definición de un camino accidentado
Los caminos aproximados son caminos que toman valores en el álgebra de tensor libre truncado (más precisamente: en el grupo nilpotente libre incrustado en el álgebra de tensor libre), que esta sección ahora recuerda brevemente. Los poderes tensoriales de, denotado , están equipados con la norma proyectiva (ver Producto del tensor topológico , tenga en cuenta que la teoría de la trayectoria aproximada de hecho funciona para una clase más general de normas). Dejar ser el álgebra tensorial truncada
- donde por convención .
Dejar ser el simplex . Dejar. Dejar y ser mapas continuos . Dejar denotar la proyección de sobre -tensores e igualmente para . La-la métrica de variación se define como
donde el supremo se hace cargo de todas las particiones finitas de .
Una función continua es un -trayectoria irregular geométrica si existe una secuencia de trayectorias con variación total finita tal que
converge en el -métrica de variación a como . [12]
Teorema del límite universal
Un resultado central en la teoría del camino aproximado es el teorema del límite universal de Lyons . [1] Una versión (débil) del resultado es la siguiente: Sea ser una secuencia de caminos con variación total finita y dejar
- denotar la elevación del camino accidentado de .
Suponer que converge en el -variación métrica a -trayectoria irregular geométrica como . Dejar ser funciones que tengan al menos derivados acotados y el -ésimas derivadas son -Hölder continuo para algunos . Dejar ser la solución a la ecuación diferencial
y deja ser definido como
Luego converge en el -variación métrica a -trayectoria irregular geométrica .
Es más, es la solución a la ecuación diferencial
impulsado por el rudo camino geométrico .
De manera concisa, el teorema se puede interpretar diciendo que el mapa de solución (también conocido como el mapa de Itô-Lyons) de la RDE es continuo (y de hecho localmente lipschitz) en el -topología de variación. Por lo tanto, la teoría de caminos aproximados demuestra que al ver las señales de conducción como caminos aproximados, uno tiene una teoría de solución robusta para ecuaciones diferenciales estocásticas clásicas y más.
Ejemplos de caminos difíciles
movimiento browniano
Dejar ser un movimiento browniano estándar multidimensional. Dejardenotar la integración de Stratonovich . Luego
es un -trayectoria irregular geométrica para cualquier . Este camino irregular geométrico se llama el camino irregular Browniano de Stratonovich .
Movimiento browniano fraccional
De manera más general, dejemos ser un movimiento browniano fraccional multidimensional (un proceso cuyos componentes de coordenadas son movimientos brownianos fraccionarios independientes) con. Si es el -th interpolación lineal a trozos diádica de , luego
converge casi con seguridad en el -variación métrica a -trayectoria irregular geométrica para . [13] Esta trayectoria aproximada geométrica limitante se puede utilizar para dar sentido a las ecuaciones diferenciales impulsadas por el movimiento browniano fraccional con el parámetro de Hurst. Cuándo, resulta que el límite anterior a lo largo de aproximaciones diádicas no converge en -variación. Sin embargo, por supuesto, todavía se pueden dar sentido a las ecuaciones diferenciales siempre que se muestre una elevación de trayectoria aproximada, la existencia de dicha elevación (no única) es una consecuencia del teorema de extensión de Lyons-Victoir .
No singularidad de la mejora
En general, deja ser un -proceso estocástico valorado. Si uno puede construir, casi con seguridad, funciones así que eso
es un -trayectoria irregular geométrica, luego es una mejora del proceso. Una vez que se ha elegido una mejora, la maquinaria de la teoría del camino aproximado le permitirá a uno entender la ecuación diferencial controlada
para campos vectoriales suficientemente regulares
Tenga en cuenta que cada proceso estocástico (incluso si es un camino determinista) puede tener más de una (de hecho, incontables) posibles mejoras. [14] Diferentes mejoras darán lugar a diferentes soluciones a las ecuaciones diferenciales controladas. En particular, es posible mejorar el movimiento browniano a una trayectoria irregular geométrica de una manera diferente a la trayectoria irregular browniana. [15] Esto implica que el cálculo de Stratonovich no es la única teoría del cálculo estocástico que satisface la regla clásica del producto.
De hecho, cualquier mejora del movimiento browniano como una trayectoria geométrica aproximada dará lugar a un cálculo que satisfaga esta regla clásica del producto. El cálculo de Itô no proviene directamente de la mejora del movimiento browniano como un camino irregular geométrico, sino más bien como un camino irregular ramificado.
Aplicaciones en análisis estocástico
Ecuaciones diferenciales estocásticas impulsadas por no semimartingales
La teoría de la trayectoria aproximada permite dar una noción de solución por trayectoria a ecuaciones diferenciales (estocásticas) de la forma
siempre que el proceso estocástico multidimensional casi con seguridad se puede mejorar como un camino accidentado y que la deriva y la volatilidad son suficientemente suaves (consulte la sección sobre el teorema del límite universal).
Hay muchos ejemplos de procesos de Markov, procesos gaussianos y otros procesos que pueden mejorarse como caminos aproximados. [dieciséis]
En particular, hay muchos resultados sobre la solución de la ecuación diferencial impulsada por el movimiento browniano fraccional que se han probado utilizando una combinación del cálculo de Malliavin y la teoría de la trayectoria aproximada. De hecho, se ha demostrado recientemente que la solución a la ecuación diferencial controlada impulsada por una clase de procesos gaussianos, que incluye el movimiento browniano fraccional con el parámetro de Hurst, tiene una densidad suave bajo la condición de Hörmander en los campos vectoriales. [17] [18]
La teoría de la gran desviación de Freidlin-Wentzell
Dejar denotar el espacio de mapas lineales acotados de un espacio de Banach a otro espacio de Banach .
Dejar ser un -Movimiento browniano estándar dimensional. Dejar y ser funciones dos veces diferenciables y cuyas segundas derivadas son -Hölder para algunos .
Dejar ser la única solución a la ecuación diferencial estocástica
dónde denota integración de Stratonovich.
La teoría de la gran desviación de Freidlin Wentzell tiene como objetivo estudiar el comportamiento asintótico, como, de para conjuntos cerrados o abiertos con respecto a la topología uniforme.
El teorema del límite universal garantiza que el mapa Itô que envía la ruta de control a la solucion es un mapa continuo de la -variación de topología a la -topología de variación (y, por tanto, la topología uniforme). Por lo tanto, el principio de contracción en la teoría de grandes desviaciones reduce el problema de Freidlin-Wentzell a demostrar el principio de gran desviación para en el -topología de variación. [10]
Esta estrategia puede aplicarse no solo a las ecuaciones diferenciales impulsadas por el movimiento browniano, sino también a las ecuaciones diferenciales impulsadas por cualquier proceso estocástico que se pueda mejorar como trayectorias aproximadas, como el movimiento browniano fraccional.
Flujo estocástico
Una vez más, deja ser un -Movimiento browniano dimensional. Suponga que el término de deriva y el término de volatilidad tiene suficiente regularidad para que la ecuación diferencial estocástica
tiene una solución única en el sentido de camino difícil. Una pregunta básica en la teoría del flujo estocástico es si el mapa de flujo existe y satisface la propiedad cocíclica que para todos ,
fuera de un conjunto nulo independiente de.
El teorema del límite universal una vez más reduce este problema a si el camino brusco browniano existe y satisface la propiedad multiplicativa de que para todos ,
fuera de un conjunto nulo independiente de , y .
De hecho, la teoría del camino aproximado da la existencia y unicidad de no solo fuera de un conjunto nulo independiente de , y pero también de la deriva y la volatilidad .
Como en el caso de la teoría de Freidlin-Wentzell, esta estrategia es válida no solo para las ecuaciones diferenciales impulsadas por el movimiento browniano, sino también para cualquier proceso estocástico que pueda mejorarse como trayectorias aproximadas.
Camino accidentado controlado
Los caminos irregulares controlados, introducidos por M. Gubinelli, [5] son caminos para el cual la integral aproximada
se puede definir para una trayectoria geométrica aproximada dada .
Más precisamente, dejemos denotar el espacio de mapas lineales acotados de un espacio de Banach a otro espacio de Banach .
Dado un -trayectoria irregular geométrica
en , a - la ruta controlada es una función tal que y que existe tal que para todos y ,
y
Ejemplo: función Lip ( γ )
Dejar ser un -trayectoria irregular geométrica que satisface la condición de Hölder de que existe , para todos y todo ,
dónde denota el -ésimo componente tensorial de . Dejar. Dejar frijol -veces función diferenciable y la -ésima derivada es Hölder, entonces
es un -camino controlado.
Integral de una ruta controlada es una ruta controlada
Si es un -camino controlado donde , luego
está definido y el camino
es un -camino controlado.
La solución a la ecuación diferencial controlada es una ruta controlada
Dejar ser funciones que tengan al menos derivados y el -ésimas derivadas son -Hölder continuo para algunos . Dejar ser la solución a la ecuación diferencial
Definir
dónde denota el operador derivado, entonces
es un -camino controlado.
Firma
Dejar ser una función continua con variación total finita. Definir
La firma de una ruta se define como .
La firma también se puede definir para trazados geométricos irregulares. Dejar ser un rudo camino geométrico y dejar ser una secuencia de caminos con variación total finita tal que
converge en el -métrica de variación a . Luego
converge como para cada . La firma del rudo camino geométrico puede definirse como el límite de como .
La firma satisface la identidad de Chen, [19] que
para todos .
Kernel de la transformación de la firma
El conjunto de caminos cuya firma es la secuencia trivial, o más precisamente,
se puede caracterizar completamente usando la idea de un camino en forma de árbol.
A -La ruta aproximada geométrica es similar a un árbol si existe una función continua tal que y para todos y todo ,
dónde denota el -ésimo componente tensorial de .
Un camino áspero geométrico satisface si y solo si es como un árbol. [20] [21]
Dada la firma de un camino, es posible reconstruir el camino único que no tiene piezas en forma de árbol. [22] [23]
Dimensiones infinitas
También es posible extender los resultados centrales en la teoría del camino aproximado a dimensiones infinitas, siempre que la norma en el álgebra tensorial satisfaga cierta condición de admisibilidad. [24]
Referencias
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