En matemáticas , generalmente hay muchas formas diferentes de construir un producto tensorial topológico de dos espacios vectoriales topológicos . Para los espacios de Hilbert o los espacios nucleares existe una teoría simple y bien comportada de los productos tensoriales (ver Producto tensorial de los espacios de Hilbert ), pero para los espacios de Banach generales o los espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la teoría es notoriamente sutil.
Motivación
Una de las motivaciones originales de los productos tensoriales topológicos es el hecho de que los productos tensoriales de los espacios de funciones suaves en no se comporte como se esperaba. Hay una inyección
pero esto no es un isomorfismo. Por ejemplo, la función no puede expresarse como una combinación lineal finita de funciones suaves en [1] Solo obtenemos un isomorfismo después de construir el producto del tensor topológico; es decir,
Este artículo primero detalla la construcción en el caso del espacio de Banach. no es un espacio de Banach y al final se discuten más casos.
Productos tensoriales de espacios de Hilbert
El producto tensor algebraica de dos espacios de Hilbert A y B tiene un naturales definida positiva forma sesquilinear (producto escalar) inducida por las formas sesquilinear de A y B . Así, en particular, que tiene un natural de forma cuadrática definida positiva , y la terminación correspondiente es un espacio de Hilbert A ⊗ B , llamado el (espacio de Hilbert) tensor producto de A y B .
Si los vectores de una i y b j carrera a través de bases ortonormales de A y B , entonces los vectores de una i ⊗ b j forma una base ortonormal de A ⊗ B .
Cruzar normas y productos tensoriales de espacios de Banach
Usaremos la notación de ( Ryan 2002 ) en esta sección. La forma obvia de definir el producto tensorial de dos espacios de Banach A y B es copiar el método para los espacios de Hilbert: defina una norma sobre el producto tensorial algebraico, luego tome la terminación en esta norma. El problema es que hay más de una forma natural de definir una norma sobre el producto tensorial.
Si A y B son espacios de Banach, el producto tensorial algebraico de A y B significa el producto tensorial de A y B como espacios vectoriales y se denota por. El producto del tensor algebraico consta de todas las sumas finitas
dónde es un número natural que depende de y y por .
Cuando A y B son espacios de Banach, una norma cruzada p en el producto del tensor algebraico es una norma que satisface las condiciones
Aquí a ′ y b ′ están en los espacios duales topológicos de A y B , respectivamente, y p ′ es la norma dual de p . El término crossnorm razonable también se utiliza para la definición anterior.
Hay una norma cruzada llamada la norma cruzada proyectiva, dada por
dónde .
Resulta que la norma cruzada proyectiva concuerda con la norma cruzada más grande (( Ryan 2002 ), proposición 2.1).
Hay una norma cruzada llamada la norma cruzada inyectiva, dada por
dónde . Aquí A ′ y B ′ significan los duales topológicos de A y B , respectivamente.
Observe por la presente que la norma cruzada inyectiva es sólo en algún sentido razonable la "más pequeña".
Las terminaciones del producto del tensor algebraico en estas dos normas se denominan productos del tensor proyectivo e inyectivo, y se denotan por y
Cuando A y B son espacios de Hilbert, la norma utilizada para su producto tensor de espacio de Hilbert no es igual a ninguna de estas normas en general. Algunos autores lo denotan por σ, por lo que el producto del tensor espacial de Hilbert en la sección anterior sería
Una norma cruzada uniforme α es una asignación a cada par de espacios de Banach de un cruce razonable en para que si son espacios de Banach arbitrarios entonces para todos los operadores (lineales continuos) y el operador es continuo y Si A y B son dos espacios de Banach y α es una norma cruzada uniforme, entonces α define una norma cruzada razonable en el producto del tensor algebraico El espacio lineal normalizado obtenido al equipar con esa norma se denota por La finalización de que es un espacio de Banach, se denota por El valor de la norma dada por α en y en el producto tensorial completo para un elemento x en (o ) se denota por o
Un cruce uniforme se dice que se genera finitamente si, para cada par de espacios Banach y cada ,
Un cruce uniforme es cofinitamente generado si, para cada par de espacios Banach y cada ,
Una norma tensorial se define como una norma cruzada uniforme generada de forma finita. La norma cruzada proyectiva y la norma cruzada inyectiva definidas anteriormente son normas tensoras y se denominan norma tensorial proyectiva y norma tensorial inyectiva, respectivamente.
Si A y B son espacios de Banach arbitrarios y α es una norma cruzada uniforme arbitraria, entonces
Productos tensoriales de espacios vectoriales topológicos localmente convexos
Las topologías de espacios vectoriales topológicos localmente convexos y son dadas por familias de seminormas . Para cada elección de seminario en y en podemos definir la familia correspondiente de normas cruzadas en el producto del tensor algebraico y al elegir una norma cruzada de cada familia obtenemos algunas normas cruzadas sobre definir una topología. En general, hay una enorme cantidad de formas de hacerlo. Las dos formas más importantes son tomar todas las normas cruzadas proyectivas, o todas las normas cruzadas inyectivas. Las terminaciones de las topologías resultantes en se denominan productos de tensor proyectivo e inyectivo, y se denotan por y Hay un mapa natural de a
Si o es un espacio nuclear, entonces el mapa natural de a es un isomorfismo . En términos generales, esto significa que si o es nuclear, entonces solo hay un producto tensorial sensible de y . Esta propiedad caracteriza los espacios nucleares.
Ver también
- Espacio de Banach: espacio vectorial normalizado que está completo
- Espacio de Fréchet : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
- Kernel de Fredholm
- Espacio de Hilbert : generalización del espacio euclidiano que permite dimensiones infinitas
- Producto tensor inductivo
- Producto tensor inyectivo
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Espacio nuclear : una generalización de espacios euclidianos de dimensión finita diferente de los espacios de Hilbert
- Producto tensorial proyectivo
- Topología proyectiva
- Producto tensorial de los espacios de Hilbert : espacio de producto tensorial dotado de un producto interior especial
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Referencias
- Ryan, RA (2002), Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach , Nueva York: Springer.
- Grothendieck, A. (1955), "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires", Memorias de la American Mathematical Society , 16.