En matemáticas , la secuencia de Rudin-Shapiro , también conocida como la secuencia de Golay-Rudin-Shapiro , es una secuencia infinita 2- automática que lleva el nombre de Marcel Golay , Walter Rudin y Harold S. Shapiro , quienes investigaron independientemente sus propiedades. [1]
Definición
Cada término de la secuencia de Rudin-Shapiro es o . Dejar ser el número de ocurrencias (posiblemente superpuestas) del bloque en la expansión binaria de . Si la expansión binaria de es dado por
luego
La secuencia de Rudin-Shapiro entonces se define por
Por lo tanto Si es par y Si es impar. [2] [3] [4]
La secuencia se conoce como la secuencia completa de Rudin-Shapiro, y a partir de , sus primeros términos son:
y los términos correspondientes de la secuencia de Rudin-Shapiro son:
- +1, +1, +1, −1, +1, +1, −1, +1, +1, +1, +1, −1, −1, −1, +1, −1, .. . (secuencia A020985 en la OEIS )
Por ejemplo, y porque la representación binaria de 6 es 110, que contiene una aparición de 11; mientras que y porque la representación binaria de 7 es 111, que contiene dos ocurrencias (superpuestas) de 11.
Motivación histórica
La secuencia Rudin-Shapiro fue descubierta de forma independiente por Golay, [5] [6] Rudin, [7] y Shapiro. [8] La siguiente es una descripción de la motivación de Rudin. En el análisis de Fourier , a menudo uno se preocupa por lanorma de una función medible . Esta norma está definida por
Se puede demostrar que para cualquier secuencia con cada en ,
Además, para casi todas las secuencias con cada es en ,
Sin embargo, la secuencia de Rudin-Shapiro satisface un límite más estricto: [10] existe una constante tal que
Se conjetura que uno puede tomar , [11] pero si bien se sabe que, [12] el límite superior mejor publicado es actualmente. [13] Dejasea el n -ésimo polinomio de Shapiro . Entonces cuando, la desigualdad anterior da un límite en . Más recientemente, también se han dado límites para la magnitud de los coeficientes de dónde . [14]
Shapiro llegó a la secuencia porque los polinomios
dónde es la secuencia de Rudin-Shapiro, tienen un valor absoluto acotado en el círculo unitario complejo por . Esto se discute con más detalle en el artículo sobre polinomios de Shapiro . La motivación de Golay fue similar, aunque estaba preocupado por las aplicaciones a la espectroscopia y publicado en una revista de óptica.
Propiedades
La secuencia de Rudin-Shapiro puede ser generada por un autómata de 4 estados que acepta representaciones binarias de números enteros no negativos como entrada. [15] Por lo tanto, la secuencia es automática 2, por lo que según el pequeño teorema de Cobham existe un morfismo uniforme 2 con punto fijo y una codificación tal que , dónde es la secuencia de Rudin-Shapiro. Sin embargo, la secuencia de Rudin-Shapiro no puede expresarse solo como el punto fijo de algún morfismo uniforme. [dieciséis]
Hay una definición recursiva [3]
Los valores de los términos a n y b n en la secuencia de Rudin-Shapiro se pueden encontrar de forma recursiva como sigue. Si n = m · 2 k donde m es impar, entonces
Así, a 108 = a 13 + 1 = a 3 + 1 = a 1 + 2 = a 0 + 2 = 2, lo cual puede verificarse observando que la representación binaria de 108, que es 1101100, contiene dos subcadenas 11. Y entonces b 108 = (−1) 2 = +1.
Un morfismo de 2 uniformes eso requiere una codificación para generar la secuencia de Rudin-Shapiro es la siguiente:
La palabra Rudin-Shapiro +1 +1 +1 −1 +1 +1 −1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 −1 +1 −1 ..., que se crea concatenando los términos de la La secuencia de Rudin-Shapiro, es un punto fijo de las reglas de morfismo o sustitución de cuerdas.
- +1 +1 → +1 +1 +1 −1
- +1 −1 → +1 +1 −1 +1
- −1 +1 → −1 −1 +1 −1
- −1 −1 → −1 −1 −1 +1
como sigue:
- +1 +1 → +1 +1 +1 −1 → +1 +1 +1 −1 +1 +1 −1 +1 → +1 +1 +1 −1 +1 +1 −1 +1 +1 + 1 +1 −1 −1 −1 +1 −1 ...
Puede verse en las reglas de morfismo que la cadena Rudin-Shapiro contiene como máximo cuatro +1 consecutivos y como máximo cuatro -1 consecutivos.
La secuencia de sumas parciales de la secuencia de Rudin-Shapiro, definida por
con valores
se puede demostrar que satisface la desigualdad
Si denota la secuencia de Rudin-Shapiro en , que viene dado por , entonces la función generadora
satisface
haciéndolo algebraico como una serie formal de poder sobre . [17] La algebraicidad de encima se sigue de la 2-automaticidad de por el teorema de Christol .
La secuencia de Rudin-Shapiro a lo largo de cuadrados es normal. [18]
La secuencia completa de Rudin-Shapiro satisface el siguiente resultado de distribución uniforme. Si, entonces existe tal que
lo que implica que se distribuye uniformemente módulo para todos los irracionales . [19]
Relación con el modelo Ising unidimensional
Sea la expansión binaria de n dada por
dónde . Recuerde que la secuencia completa de Rudin-Shapiro está definida por
Dejar
Entonces deja
Finalmente, deja
Recuerde que la función de partición del modelo Ising unidimensional se puede definir de la siguiente manera. Reparar que representa el número de sitios y corrige constantes y que representan la constante de acoplamiento y la intensidad de campo externa, respectivamente. Elija una secuencia de pesos con cada . Para cualquier secuencia de giros con cada , define su hamiltoniano por
Dejar ser una constante que represente la temperatura, que puede ser un número complejo arbitrario distinto de cero, y establecer dónde es la constante de Boltzmann . La función de partición está definida por
Entonces nosotros tenemos
donde la secuencia de peso satisface para todos . [20]
Ver también
Notas
- ^ a b John Brillhart y Patrick Morton, ganadores de un premio Lester R. Ford de 1997 (1996). "Un estudio de caso en la investigación matemática: la secuencia Golay-Rudin-Shapiro" . Amer. Matemáticas. Mensual . 103 : 854–869. doi : 10.2307 / 2974610 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Secuencia Rudin-Shapiro" . MathWorld .
- ↑ a b Pytheas Fogg (2002) p.42
- ^ Everest et al (2003) p.234
- ^ Golay, MJE (1949). "Espectrometría de rendija múltiple". J. Optical Soc. Amer . 39 (437–444).
- ^ Golay, MJE (1951). "Espectrometría estática multisiluminada y su aplicación a la visualización panorámica de espectros infrarrojos". J. Optical Soc. Amer . 41 : 468–472.
- ^ Rudin, W. (1959). "Algunos teoremas sobre coeficientes de Fourier". Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 10 : 855–859.
- ^ Shapiro, HS (1952). "Problemas extremos para polinomios y series de potencias". Tesis de maestría, MIT .
- ^ Salem, R .; Zygmund, A. (1954). "Algunas propiedades de series trigonométricas cuyos términos tienen signos aleatorios". Acta Mathematica . 91 : 245-301.
- ^ Allouche y Shallit (2003) p. 78–79
- ^ Allouche y Shallit (2003) p. 122
- ^ Brillhart, J .; Morton, P. (1978). "Über Summen von Rudin – Shapiroschen Koeffizienten". Illinois J. Math. 22 : 126-148.
- ^ Saffari, B. (1986). "Une función extrémale liée à la suite de Rudin – Shapiro". CR Acad. Sci. París . 303 : 97-100.
- ^ Allouche, J.-P .; Choi, S .; Denise, A .; Erdélyi, T .; Saffari, B. (2019). "Límites de los coeficientes de autocorrelación de los polinomios de Rudin-Shapiro". Análisis Mathematica . 45 : 705–726.
- ^ Autómatas finitos y aritmética , Jean-Paul Allouche
- ^ Allouche y Shallit (2003) p. 192
- ^ Allouche y Shallit (2003) p. 352
- ^ Müllner, C. "La secuencia de Rudin-Shapiro y secuencias similares son normales a lo largo de los cuadrados". Revista canadiense de matemáticas . 70 (5): 1096–1129.
- ^ Allouche y Shallit p. 462–464
- ^ Allouche y Shallit (2003) p. 457–461
Referencias
- Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Secuencias automáticas: teoría, aplicaciones, generalizaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015 .
- Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y Monografías Matemáticas. 104 . Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006 .
- Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, Anne (eds.). Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria . Apuntes de clase en matemáticas. 1794 . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015 .
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