En matemáticas, los polinomios de Shapiro son una secuencia de polinomios que fueron estudiados por primera vez por Harold S. Shapiro en 1951 al considerar la magnitud de sumas trigonométricas específicas . [1] En el procesamiento de señales , los polinomios de Shapiro tienen buenas propiedades de autocorrelación y sus valores en el círculo unitario son pequeños. [2] Los primeros miembros de la secuencia son:
donde la segunda secuencia, indicado por Q , se dice que es complementaria a la primera secuencia, indicada por P .
Construcción
Los polinomios de Shapiro P n ( z ) pueden construirse a partir de la secuencia de Golay-Rudin-Shapiro a n , que es igual a 1 si el número de pares de unos consecutivos en la expansión binaria de n es par, y −1 en caso contrario. Por lo tanto, a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = 1, a 3 = −1, etc.
El primer Shapiro P n ( z ) es la suma parcial de orden 2 n - 1 (donde n = 0, 1, 2, ...) de la serie de potencias
- f ( z ): = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ...
La secuencia Golay-Rudin-Shapiro { a n } tiene una estructura similar a un fractal, por ejemplo, a n = a 2 n , lo que implica que la subsecuencia ( a 0 , a 2 , a 4 , ...) replica la original secuencia { a n }. Esto a su vez conduce a notables ecuaciones funcionales satisfechas por f ( z ).
El segundo o polinomio complementario de Shapiro Q n ( z ) puede definirse en términos de esta secuencia, o por la relación Q n ( z ) = (1-) n z 2 n -1 P n (-1 / z ), o por las recursiones
Propiedades
La secuencia de polinomios complementarios Q n correspondientes a P n se caracteriza únicamente por las siguientes propiedades:
- (i) Q n es de grado 2 n - 1;
- (ii) los coeficientes de Q n son todos 1 o -1, y su término constante es igual a 1; y
- (iii) la identidad | P n ( z ) | 2 + | Q n ( z ) | 2 = 2 ( n + 1) se mantiene en el círculo unitario, donde la variable compleja z tiene un valor absoluto uno.
La propiedad más interesante de { P n } es que el valor absoluto de P n ( z ) está acotado en el círculo unitario por la raíz cuadrada de 2 ( n + 1) , que está en el orden de la norma L 2 de P n . Los polinomios con coeficientes del conjunto {−1, 1} cuyo módulo máximo en el círculo unitario está cerca de su módulo medio son útiles para varias aplicaciones en la teoría de la comunicación (por ejemplo, diseño de antenas y compresión de datos ). La propiedad (iii) muestra que ( P , Q ) forman un par Golay .
Estos polinomios tienen otras propiedades: [3]
Ver también
Notas
- ^ John Brillhart y L. Carlitz (mayo de 1970). "Nota sobre los polinomios de Shapiro" . Actas de la American Mathematical Society . Actas de la American Mathematical Society, vol. 25, núm. 1. 25 (1): 114-118. doi : 10.2307 / 2036537 . JSTOR 2036537 .
- ^ Somaini, U. (26 de junio de 1975). "Secuencias binarias con buenas propiedades de correlación" . Cartas de electrónica . 11 (13): 278-279. doi : 10.1049 / el: 19750211 .
- ^ J. Brillhart; JS Lomont; P. Morton (1976). "Propiedades ciclotómicas de los polinomios de Rudin-Shapiro". J. Reine Angew. Matemáticas. 288 : 37–65.
Referencias
- Borwein, Peter B (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . Saltador. ISBN 978-0-387-95444-8. Consultado el 30 de marzo de 2007 . Capítulo 4.
- Mendès France, Michel (1990). "La secuencia de Rudin-Shapiro, cadena de Ising y plegado de papel". En Berndt, Bruce C .; Diamond, Harold G .; Halberstam, Heini ; et al. (eds.). Teoría analítica de números. Actas de una conferencia en honor a Paul T. Bateman, celebrada del 25 al 27 de abril de 1989 en la Universidad de Illinois, Urbana, IL (EE . UU . ) . Progreso en Matemáticas. 85 . Boston: Birkhäuser. págs. 367–390. ISBN 978-0-8176-3481-0. Zbl 0724.11010 .